引理 设 $\mathcal{A}$ 是由一组集合构成的非空的集合(非空集族). 假如 $\mathcal{A}$ 中任一条非空链 $\{A_i:i\in I\}$ 都有 $\bigcup\limits_{i\in I}{A_i}\in \mathcal{A}$, 那么 $\mathrm{A}$ 必有极大元 $A$.
定义 链 $A_i \in \mathcal{A}$, 如果 $\forall i,j \in I$, $A_i \subseteq A_j \vee A_i \supseteq A_j$, 则称 $\{A_i:i\in I\}$ 为 $\mathcal{A}$ 的一条链
下面是 Zorn 引理在环论中的应用
定理 有单位元的非零环的任一真理想必包含于某一极大理想中.
证明用到了以下的定理
定理 设 $R$ 是一个幺环, $a\in R,I\lhd R$, 并且 $I\cap \{a^n: n \in \mathbb{N}\} = \varnothing$, 则 $$\mathcal{A} = \{J\lhd R: J\supseteq I \wedge J \cap \{a^n: n \in \mathbb{N}\}\}$$ 中有极大元
证明: 显然, 可以验证任一非空链的并就是一个 $\mathcal{A}$ 中的理想, 所以根据 Zorn 引理, 可知极大元存在.
在上面的定理中取 $a=1$, 则可知有单位元的非零环中的任一理想必包含在某一极大理想中.
如果 $R$ 是一个交换幺环, 那么上面取出来的极大元是素理想.
定理 设 $R$ 是一个交换幺环, $a\in R,I\lhd R$, 并且 $I\cap \{a^n: n \in \mathbb{N}\} = \varnothing$, 则 $$\mathcal{A} = \{J\lhd R: J\supseteq I \wedge J \cap \{a^n: n \in \mathbb{N}\}\}$$ 中有极大元 $P$ 且 $P$ 是素理想
证明 假设 $P$ 不是素理想, $\exists b,c\notin P,bc \in P$. $a^m\in (b) +P,a^n \in (c) +P$ 可以推出 $a^{m+n} \in (bc)+ P = P$, 矛盾.
