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非负简单函数的勒贝格积分
定义 (简单函数) 设 $E$ 是一个可测集, 将 $E$ 分解成 $k$ 个互不相交的可测集 $E_1,E_2,…,E_k$ 的并, 设 $\varphi(x)$ 在每个可测集 $E_i$ 上取常值 $c_i$, 即 $$\phi(x) = \sum\limits_{i=1}^{k} c_i \chi_{E_i}(x)$$ 称为简单函数
非负简单函数就是 $c_i$ 均大于等于 $0$.
定义 (非负简单函数的勒贝格积分) 设 $$\varphi(x) = \sum\limits_{i=1}^{k} c_i \chi_{E_i}(x)$$ 则称 $$\int_E \varphi(x) \mathrm{d} x = \sum\limits_{i=1}^k c_i m(E_i)$$ 为该简单函数 $\varphi$ 在 $E$ 的积分.
非负可测函数的勒贝格积分
定义 设 $E$ 是一个可测集, $f$ 是 $E$ 上的非负可测函数, 则称 $$\int_E f(x) \mathrm{d}x = \sup \{\int_E \varphi(x) \mathrm{d} x : \varphi \ \text{是 $E$ 上简单函数}\ \wedge \forall x\in E \left(0\le \varphi(x) \le f(x)\right)\}$$ 为 $f$ 在 $E$ 上的积分
勒维定理
定理 设 $\{f_n\}$ 是可测集 $E$ 上一列非负可测函数, 满足 $\forall x \in E \left(f_n(x) \le f_{n+1}(x)\right),n=1,2,…$ 且 $f=\lim\limits_{n\to \infty}f_n$, 则成立 $$\int_E f \mathrm{d} x = \lim\limits_{n\to \infty}\int_E f_n \mathrm{d}x$$
证明: 由 $f_n \le f$ 可知 $\int_E f_n \mathrm{d}x \le \int_E f \mathrm{d}x$. 再令 $n\to \infty$, 即得 $\lim\limits_{n\to \infty} \int_E f_n \mathrm{d}x\le \int_E f \mathrm{d}x$
下面取 $E$ 上的简单函数满足 $\forall \left(0\le \varphi(x) \le f(x)\right)$, 取 $0<c<1$, 则 $\exists N>0\forall n\ge N,\forall x\in E, f_n(x) \ge c\varphi(x)$, 两边积分再关于 $n\to \infty$ $$\lim\limits_{n\to \infty} \int_E f_n(x) \mathrm{d} x \ge c \int_E \varphi(x) \mathrm{d}x$$ 由于 $0<c<1$ 的任意性 $$\lim\limits_{n\to \infty}\int_E f_n(x)\mathrm{d} x \ge \int_E \varphi(x)\mathrm{d}x $$ 由于 $\forall \left(0\le \varphi(x) \le f(x)\right)$, 所以 $$\lim\limits_{n\to \infty} \int_E f_n(x) \mathrm{d} x \ge \int_E f(x) \mathrm{d}x $$ 即得勒维定理
法杜定理
定理 设 $\{f_n\}$ 是可测集 $E$ 上一列非负可测函数, 则 $$\int_E \varliminf\limits_n f_n(x) \mathrm{d} x \le \varliminf\limits_n \int_E f_n(x) \mathrm{d} x$$
证明: 法杜引理是显然的, 因为 $\inf\limits_{k\ge n} f_k(x) \le f_n(x)$, 所以 \begin{array}{ll}\int_E \varliminf\limits_n f_n(x) \mathrm{d} x &= \int_E \lim\limits_{n\to\infty} \inf\limits_{k\ge n} f_n(x) \mathrm{d}x\\ &=\lim\limits_{n\to \infty} \int_E \inf\limits_{k\ge n} f_n(x) \mathrm{d}x\\ &\le \lim\limits_{n\to \infty} \int_E f_n(x) \mathrm{d}x\end{array} 其中第二个等式用到了勒维定理.
一般可测函数的勒贝格积分
定义 设 $f$ 是可测集 $E$ 上的可测函数, 则 $$\int_E f(x) \mathrm{d}x = \int_E f^+ (x)\mathrm{d} x – \int_E f^-(x) \mathrm{d}x$$ 称为 $f(x)$ 在 $E$ 上的积分.
积分的绝对连续性
定理 设 $f$ 是可测集 $E$ 上的可积函数, 则 $$\forall \varepsilon >0, \exists \delta >0,\forall A\subseteq E\wedge m(A) <\delta\left(|\int_A f(x)\mathrm{d}x|\le \int_A|f(x)|\mathrm{d}x <\varepsilon\right)$$
证明: 可以取到非负简单函数 $0\le \varphi(x) \le |f(x)|$ 使得 $\int_E |f(x)|\mathrm{d}x -\varepsilon/2 \le \int_E \varphi(x)\mathrm{d}x \le \int_E |f(x)|\mathrm{d}x$.因为简单函数可以在 $E$ 上取到最大值 $M$, 让 $\delta = \frac{\varepsilon}{2M}$, 则 \begin{array}{ll}|\int_A f(x)\mathrm{d}x| &\le \int_A|f(x)|-\varphi(x)\mathrm{d}x +\int_A \varphi(x)\mathrm{d}x\\ &\le \frac{\varepsilon}{2}+ M\frac{\varepsilon}{2M}\\ &= \varepsilon \end{array}
勒贝格控制收敛定理
定理 设 $\{f_n\}$ 是可测集 $E$ 上的一列可测函数, $\lim\limits_{n\to \infty} f_n(x) = f(x)$ a.e. 于 $E$ 或 $f_n(x) \implies f(x)$, 满足在 $E$ 上几乎处处成立 $|f_n(x)|\le F(x)$, 其中 $F$ 是 $E$ 上可积的非负函数, 则 $f_n,f$ 在 $E$ 上可积且 $\lim\limits_{n\to \infty}\int_E |f_n(x)-f(x)|\mathrm{d}x =0$ 且 $\lim\limits_{n\to \infty} \int_E f_n(x)\mathrm{d}x = \int_E f(x)\mathrm{d}x$.
证明: 设 $g_n(x) = |f_n(x) -f(x)|$, 则 $g_n(x) \le 2F(x)$. 那么 $2F(x) – g_n(x)$ 是一列非负可测函数, $\lim\limits_{n\to \infty} 2F(x) – g_n(x) = 2F(x)$ a.e. 于 $E$. 由法杜定理, $$2\int_E F(x) \mathrm{d}x \le \varliminf\limits_{n\to\infty} \int_E 2F(x)-g_n(x)\mathrm{d}x $$ 由上可以推出, $$\varlimsup\limits_{n\to \infty} g_n(x) \mathrm{d}x \le 0$$ 即得 $\lim\limits_{n\to \infty} |f_n(x)- f(x)|\mathrm{d}x =0$
与黎曼积分的关系
勒贝格积分是黎曼积分的推广, 但不是黎曼反常积分的推广.
定理 黎曼可积的函数几乎处处连续
定理 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上 $R$ 可积, 则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上 $L$ 可积, 且 $$(L) \int_{[a,b]}f(x)\mathrm{d}x = (R) \int_{[a,b]}f(x)\mathrm{d}x$$
几何意义与富比尼定理
定理 设 $f$ 是 $E\subseteq \mathbb{R}^n$ 上的非负函数, 则称 $$\{(x,y)\in \mathbb{R}^{n+1} :x\in E,0\le y\le f(x) \}$$
定理 (富比尼定理) 勒贝格可积函数积分可以交换顺序.
