定义 绝对连续函数 设 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的有限函数, 如果 $\forall \epsilon>0$, $\exists \delta >0$, 使得对 $[a,b]$ 中任意有限个不相交的开区间 $(a_i,b_i),i = 1,…,n$, $\sum\limits_{i=1}^n |b_i-a_i|< \delta$ 时, $$\sum\limits_{i=1}^n |f(b_i)-f(a_i)|<\epsilon$$ 则称 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的绝对连续函数.
定理 绝对连续函数是一致连续函数, 也是有界变差函数.
哪些函数是绝对连续函数?
定理 设 $f$ 是 $[a,b]$ 上的绝对连续函数, 则几乎处处有定义的 $f’$ 在 $[a,b]$ 上可积且 $$f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t) \mathrm{d} t$$ 绝对连续函数总是可积函数的不定积分.
