定理 设 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的单调函数, 则
- $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上几乎处处存在有限导数 $f'(x)$
- $f'(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积
- 如果 $f(x)$ 为增函数, 有 $\int_a^b f'(x) \mathrm{d} x \le f(b) – f(a)$
单调函数的列导数具有下列性质
引理 设 $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上的严格增函数,
- 如果对于 $E\subseteq [a,b]$ 中的每一点 $x$, 至少有一个列导数 $Df(x) \le p(p\ge 0)$, 则$$m^*f(E) \le pm^*(E)$$
- 如果对于 $E\subseteq [a,b]$ 中的每一点 $x$, 至少有一个列导数 $Df(x) \ge q(q\ge 0)$, 则 $$m^*f(E) \ge q m^*(E)$$
