定义 设 $f(x)$ 是定义在区间 $[a,b]$ 上的有限函数, $x_0 \in[a,b]$. 若存在 $h_n \to 0,h_n \neq 0$, 使得极限 $$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}=\lambda$$ 存在, 则称 $\lambda$ 是 $f(x)$ 在 $x_0$ 的一个列导数. 如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 的列导数都相等, 则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 广义可微. 如果所有列导数不仅都相等而且有限, 则 $f(x)$ 在 $x_0$ 可微.
引理 设 $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上的严格增函数,
- 如果对于 $E\subseteq [a,b]$ 中的每一点 $x$, 至少有一个列导数 $Df(x) \le p(p\ge 0)$, 则$$m^*f(E) \le pm^*(E)$$
- 如果对于 $E\subseteq [a,b]$ 中的每一点 $x$, 至少有一个列导数 $Df(x) \ge q(q\ge 0)$, 则 $$m^*f(E) \ge q m^*(E)$$
