定理 $[a,b]$ 上定义的函数 $f(x)$ 是有界变差的充分必要条件是它可以表示成两个单调函数的差.
定义 设 $f(x)$ 是区间 $[a,b]$ 上的有限函数, $$\sup\limits_{a=x_0<x_1<…<x_n=b}\sum\limits_{k=1}^n |f(x_k)-f(x_{k-1})|,n\in \mathbb{N}$$ 称为 $f(x)$ 的全变差, 记为 $\bigvee\limits_a^b(f)$. 若 $\bigvee\limits_a^b(f)<\infty$, 则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 是有界变差的.
定理 有界变差函数都可以表示成它的跳跃函数和一个连续有界变差的和.
有界变差函数 $f(x)$ 的标准分解 $$f(x) = p(x) -n(x) + f(a)$$ 其中 \begin{array}{ll}p(x)&=\sup\limits_{a=x_0<x_1<…<x_n=b}\sum\limits_{f(x_k)-f(x_{k-1})\ge 0}f(x_k)-f(x_{k-1})\\ n(x) &=\sup\limits_{a=x_0<x_1<…<x_n=b}\sum\limits_{f(x_k)-f(x_{k-1})< 0}f(x_{k-1})-f(x_{k})\end{array} 均为非负增函数.
