勒贝格积分的引入
简单函数的 Lebesgue 积分
定义 简单函数 $$\phi(x) =\sum\limits_{k=1}^n \chi_{E_k} (x) $$ 的 Lebesgue 积分为 $$\int _E \phi (x)\mathrm {d} m = \sum\limits_{k=1}^n m(E_k)$$
非负可测函数的 Lebesuge 积分
定义 设 $f(x)$ 是有界可测集 $E$ 上的非负可测函数, 定义 $f(x)$ 的积分为 $$\int_E f(x)\mathrm{d} m = \sup\limits_{0\le \phi\le f}\int_E \phi(x) \mathrm{d} m$$
定理 非负可测函数的逐项积分定理 设 $E$ 为可测集, $\{f_n\}$ 是 $E$ 上一列非负可测函数, 则 $$\int_E \sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)\mathrm{d} m = \sum\limits_{n=1}^\infty \int_E f_n(x) \mathrm{d}m$$
一般可测函数的 Lebesgue 积分
定义 设 $f(x)$ 是有界可测集 $E$ 上的一般可测函数, 定义 $f(x)$ 的积分为 $$\int_E f(x) \mathrm{d}m = \int_E f_+(x)\mathrm{d}m – \int_E f_- (x) \mathrm{d} m$$
Lebesgue 积分的性质
定理 设 $f$ 是可测集 $E$ 上可测函数, $f$ 和 $|f|$ 的可积性相同.
定理 在 $E$ 上 Lebesgue 可积函数必几乎处处有限.
定理 设 $f\le g$ 在 $E$ 上均可积, 则 $$\int_E f(x) \mathrm{d}m \le \int_E g(x) \mathrm{d} m$$
定理 $|f|\le g$, $g$ 在 $E$ 上可积, 则 $f$ 在 $E$ 上可积, 且 $$|\int_E f(x) \mathrm{d} m|\le \int_E g(x) \mathrm{d}m$$
定理 积分的绝对连续性 设 $f$ 在有界可测集 $E$ 上可积, 则 $\forall \varepsilon >0, \exists \delta >0,\forall me<\delta(e\subseteq E)$, $$|\int_e f(x) \mathrm{d} m| < \varepsilon$$
Levi 定理
定理 设 $f(x)$ 是有界可测集 $E$ 上的非负可积函数, $\{f_n(x)\}$ 是满足条件 $$0\le f_1(x) \le f_2(x)\le … \quad \lim\limits_{n\to \infty} f_n(x) = f(x), (x\in E)$$ 的简单函数列, 则 $$\int_E f(x) \mathrm{d} m = \lim\limits_{n\to \infty} \int_E f_n(x) \mathrm{d} m$$
推广 设 $f_n(x)$ 是可测集 $E$ 上的非负可测函数, 当 $x\in E$ 时, $f_n(x) \le f_{n+1} (x)$, 令 $f(x) = \lim\limits_{n \to \infty}$,则 $$\int_E f(x) \mathrm{d}m = \lim\limits_{n\to \infty}\int_E f_n(x) \mathrm{d} m $$
Fatou 定理
定理 设 $f_n(x)$ 是可测集 $E$ 上的非负可测函数列, 则 $$\int_E \varliminf\limits_{n \to \infty}f_n(x) \mathrm{d} m \le \varliminf\limits_{n\to \infty} \int_E f_n(x) \mathrm{d} m$$
Lebesgue 控制收敛定理
定理 设可测集 $E$ 上可测函数列 $\{f_n(x)\}$ 满足下述条件: $f_n(x)$ 的极限存在, $f(x) = \lim\limits_{n\to \infty}f_n(x)$, 且有可积函数 $g(x)$ 使 $$|f_n(x) |\le g(x)$$ 那么 $f$ 可积且 $$\int_E f(x) \mathrm{d} m = \lim\limits_{n\to\infty} \int_E f_n(x) \mathrm{d}m$$
推论 有界收敛定理 设 $mE <\infty$, $E$ 上有界可测函数列 $\{f_n(x)\}$ 满足 $|f_n(x)| \le M$, $f(x) = \lim\limits_{n\to \infty} f_n(x)$, 则 $f(x)$ 可积, 且成立 $$\int_E f(x) \mathrm{d} m = \lim\limits_{n\to \infty} \int_E f_n(x) \mathrm{d} m$$
推论 设 $E$ 是可测集, $\{f_n\}$ 是 $E$ 上的一列 $L$ 可积函数. 如果正项级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty\int_E |f_n(x)|$ 收敛, 则 $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ 在 $E$ 上几乎处处收敛且其和函数在 $E$ 上可积 $$\int_E \sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x) \mathrm{d} m = \sum\limits_{n=1}^\infty \int_E f_n(x) \mathrm{d} m$$
