有界点集的外测度
由一维有界非空开集的结构表示, 可知 $$G=\bigcup\limits_{k}(\alpha_k,\beta_k)$$
定义 $R$ 上有界非空开集 $G$, 将 $G$ 的一切构成区间的长度的和称为 $G$ 的测度, 记为 $mG$ $$mG= \sum\limits_{k} (\beta_k – \alpha_k)$$
定义 设 $E$ 为有界集, $E$ 的外测度定义为一切包含 $E$ 的开集的测度的下确界, 并记为 $$m^* E = \inf\limits_{G\supseteq E} mG$$
定理 设 $E = \bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k$, 则 $$m^* E \le \sum\limits_{k=1}^\infty m^* E_k$$
有界点集的内测度
定义 $R$ 上的非空闭集 $F$, 取一个包含 $F$ 的开区间 $(a,b)$, $$b-a – m\left((a,b)\backslash F \right)$$ 称为 $F$ 的测度, 记为 $mF$
这个定义还可以等价地写成取一个包含 $F$ 的有界开集 $G$, 定义 $F$ 的测度为 $$m(F) = m(G) – m(G\backslash F)$$
定义 设 $E$ 为有界集, $E$ 的内测度定义为一切含于 $E$ 的闭集的测度的上确界, 并记为 $$m_* E = \sup\limits_{F\subseteq E}mF$$
定理 设 $E=\bigcup\limits_{k}^\infty E_k$ 且 $E_k$ 互不相交, 则 $$m_* E \ge \sum\limits_{k=1}^\infty m_* E_k$$
定理 设 $E$ 为有界集, 则 $$m_* E \le m^* E$$
可测集
定义 设 $E$ 为有界集, 当 $m_*E=m^*E$ 是, 称 $E$ 为勒贝格可测, 并且将 $E$ 的外测度或内测度称为 $E$ 的测度, 记为 $mE = m_* E = m^* E$
定理 测度的性质
- 测度的单调性 设 $E_1, E_2$ 是两个可测集, $E_1 \subseteq E_2$, 则 $$mE_1 \le m E_2$$
- 测度的完全可加性 设 $E=\bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k$, 若 $E_k$ 互不相交的可测集, 则 $$mE = \sum\limits_{k=1}^\infty m E_k$$ 可测集的测度显然满足外测度的半可加性.
- 可测集关于可列并和可列交的封闭性 设 $E=\bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k$, 若 $E_k$ 均可测, 则 $E$ 也是可测集. 设 $E=\bigcap\limits_{k=1}^\infty E_k$, 若 $E_k$ 均可测, 则 $E$ 也是可测集.
可测集除了对可列并和可列交封闭, 也对可测集之间的差运算封闭. 并且还有以下的定理
定理 对一些特殊可测集列的可列并和可列交的计算
- 设 $\{E_k\}$ 是渐张可测集列, 即 $E_1\subseteq E_2 \subseteq … $, 则 $mE = \lim\limits_{k \to \infty}m E_k$
- 设 $\{E_k\}$ 是渐缩可测集列 ($E_1\supseteq E_2 \supseteq …$), 且 $m(E_1) < +\infty$, 则 $m(E)=\lim\limits_{k\to \infty} m E_k$
定理 有界集 $E$ 可测的三个充分必要条件:
- $m*E = m_*E$
- $\forall \epsilon >0$, $\exists G,F$, 其中 $G$ 是包含 $E$ 的开集, $F$ 是含于 $E$ 的闭集, 使得 $m(G\backslash F)<\epsilon$
- $\forall\ \text{集合}\ A$, 满足等式 $$m^*A = m^*(A\cap E) +m^*(A \cap E^C)$$
