可测函数的定义
定义一个接下来经常用到的符号
$$E(f>\alpha) = \{x\in E: f(x) \in (\alpha,\infty]\}$$
定义 设 $f$ 是定义在可测集 $E$ 上的实函数. 如果 $\forall \alpha \in R$, $E(f>\alpha)$ 勒贝格可测, 则称 $f$ 是 $E$ 上的勒贝格可测函数.
定义 简单函数 $f$ 在可测集 $E$ 上只取有限个实数值且每个实数值对应的原像可测的函数称为简单函数. 简单函数可写为 $$f(x) = \sum\limits_{k=1}^n c_k \chi_{E_k}(x)$$ 其中 $E = \bigcup\limits_{k=1}^n E_k$, $E_k$ 互不相交.
定理 $f(x)$ 在可测集 $E$ 上可测的充分必要条件是它可以表示成一个简单函数列的极限.
定理 构造新的可测函数
- 两个可测函数的和差积商均可测.
- $\{f_n(x)\}$ 是可测集 $E$ 上的可测函数列, 则 $\sup\limits_n f_n(x)$ 和 $\inf\limits_n f_n(x)$ 都是可测的. 上极限 $\varlimsup\limits_n f_n(x) = \inf\limits_k \sup\limits_{n\ge k} f_n(x)$ 和下极限 $\varliminf\limits_n f_n(x) = \sup\limits_k \inf\limits_{n\ge k} f_n(x)$ 都是可测的. 当 $\lim\limits_{n} f_n(x)$ 几乎处处存在时, $\lim\limits_n f_n(x)$ 可测.
- 可测函数的正部, 负部和绝对值可测
可测函数列的收敛性
叶果洛夫定理
定理 设 $E$ 时可测集 $mE <\infty$, $f_n(x)(n\in \mathbb{N})$ 与 $f(x)$ 是 $E$ 上几乎处处有限的可测函数, 且 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处收敛于 $f(x)$. 那么, $\forall \delta>0$, $\exists E_\delta \subseteq E$, 使得序列 $\{f_n(x)\}$ 在 $E_\delta$ 上一致收敛于 $f(x)$ 而 $m(E-E_\delta)<\delta$
叶果洛夫定理的结论部分称为 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上近一致收敛于 $f(x)$. 有以下充分必要条件
定理 $E$ 是有限测度的可测集, $f_n(x)$ 和 $f(x)$ 在 $E$ 上几乎处处有限, 则 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处收敛于 $f(x)$ 的充分必要条件是 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上近一致收敛于 $f(x)$
里斯定理
定义 设 $\{f_n(x)\}$ 是可测集 $E$ 上的可测函数列, $f(x)$ 是 $E$ 上可测函数. 如果 $\forall \varepsilon >0$, $$\lim\limits_{n \to \infty} mE(|f_n-f|\ge \varepsilon)=0$$ 则称序列 $\{f_n(x)\}$ 测度收敛于 $f(x)$
定理 设 $E$ 是有限测度的可测集, 可测函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上依测度收敛于 $f(x)$ 的充分必要条件是 $\{f_n(x)\}$ 的任何子列都存在子列几乎处处收敛于 $f(x)$
卢津定理
定理 设 $f(x)$ 是可测集 $E$ 上几乎处处有限的可测函数, 则 $\forall \varepsilon>0$, $\exists$ 闭集 $F\subseteq E, m(E\backslash F)<\varepsilon$, $f(x)$ 限制在 $F$ 上是连续的
