二项分布

设 $X$ 是 $n$ 重伯努利试验中事件 $A$ 出现的次数, 记 $p$ 为每次试验中 $A$ 发生的概率. $X$ 的分布列为 $$P(X=k)=\binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}$$ 称这个分布为二项分布, 记为 $X\sim b(n,p)$

数学期望为 $np$, 方差为 $np(1-p)$

泊松分布

泊松分布的分布列为 $$P(X= k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},k = 0,1,2,…$$ 其中参数 $\lambda >0$, 记为 $X \sim P(\lambda)$ 也有的记为 $X \sim \pi(\lambda)$

数学期望为 $\lambda$, 方差为 $\lambda$

超几何分布的分布列为 $$P(x=k) = \frac{\binom{M}{k} \binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}, k =0,1,2,…,r$$ 其中 $M\le N,n\le N, r= \min\{M,n\}$, 记为 $X \sim h(n,N,M)$

数学期望为 $n\frac{M}{N}$, 方差为 $$\frac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}$$

几何分布的分布列为 $$P(x=k)= (1-p)^{k-1}p,k=1,2,…$$, 记为 $X \sim Ge(p)$

数学期望为 $\frac{1}{p}$, 方差为 $\frac{1-p}{p^2}$

负二项分布的分布列为 $$P(x=k) = \binom{k-1}{r-1} p^r(1-p)^{k-r},k=r,r+1,…$$ 记为 $X \sim Nb(r,p)$. 当 $r=1$ 时为几何分布.

数学期望为 $$\frac{r}{p}$$ 方差为 $$\frac{r(1-p)}{p^2}$$