恰当方程
定义 恰当微分方程 $$\mathrm{d} \phi(x,y)= P(x,y) \mathrm{d} x + Q(x,y) \mathrm{d} y=0$$ 称为恰当微分方程. 该微分方程的通解为 $$\phi(x,y) = C$$
定理 设 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 在区域上连续, 且具有一阶连续偏导数 $\frac{\partial P}{\partial y} ,\frac{\partial Q}{\partial x} $, 微分方程 $$P(x,y)\mathrm{d} x + Q(x,y) \mathrm{d} y=0$$ 是恰当微分方程的充分必要条件是 $$\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial Q}{\partial x} $$
变量分离的方程
定义 具有如下形式的方程称为变量分离方程 $$X(x)Y_1(y)\mathrm{d} x + X_1(x) Y(y) \mathrm{d} y = 0$$
变量分离方程的通解为
- 通积分 $$\int \frac{X(x)}{X_1(x)}\mathrm{d}x + \int \frac{Y(y)}{Y_1(y)} \mathrm{d} y =C$$
- $X_1(x)=0$ 的根
- $Y_1(y) =0$ 的根
一阶线性方程
定义 形如下式的方程称为一阶线性微分方程 $$\frac{\mathrm{d} y }{\mathrm{d}x} + p(x) y =q(x)$$
一阶线性微分方程的通解可以通过以下方法来进行求解. 两边同乘 $e^{\int_0^x p(t) \mathrm{d}t}$ 得 $$\frac{\mathrm{d} y }{\mathrm{d}x} e^{\int_0^x p(t) \mathrm{d}t}+ p(x) y e^{\int_0^x p(t) \mathrm{d}t}=q(x)e^{\int_0^x p(t) \mathrm{d}t}$$ 通过导数的运算法则, 可以得到 $$(ye^{\int_0^x p(t) \mathrm{d}t})’=q(x)e^{\int_0^x p(t) \mathrm{d}t}$$ 两边积分即得方程的通解.
初等变换法
齐次方程
定义 形如下式 $$P(x,y)\mathrm{d} x+Q(x,y) \mathrm{d}y=0$$ 其中 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 均为 $m$ 次齐次函数, 即 $$P(tx,ty)=t^mP(x,y),Q(tx,ty)=t^m P(x,y)$$ 的方程称为齐次方程
齐次方程的通解利用设 $y= ux$, 将方程改写为 $$x^mP(1,u)\mathrm{d}x+x^mQ(1,u)(x\mathrm{d}u+u\mathrm{d}x)=0$$ 即方程 $$x^m(P(1,u)+uQ(1,u))\mathrm{d}x+x^{m+1}Q(1,u)\mathrm{d}u=0$$
伯努利方程
定义 形如 $$\frac{\mathrm{d} y }{\mathrm{d}x} + p(x) y =q(x)y^n$$ 其中 $n \neq 0,1$ 的方程称为伯努利方程.
两边同乘 $(1-n)y^{-n}$ 即可.
里卡蒂方程
定义 形如 $$\frac{\mathrm{d} y }{\mathrm{d}x} =p(x)y^2 +q(x) y + r(x)$$ 其中 $p,q,r$ 在区域上连续, $p(x)$ 不恒为 $0$ 的方程称为里卡蒂方程.
定理 已知里卡蒂方程的一个特解 $\phi_1(x)$ 时, 可以通过积分法求得该方程的通解. 只需令 $y=u(x) + \phi_1(x)$. 将得到一个伯努利方程.
积分因子法
对于一般方程 $$P(x,y)\mathrm{d} x + Q(x,y) \mathrm{d}y = 0$$ 去寻找一个可微的非零函数 $\mu = \mu(x,y)$, 使得它乘方程两边, 得到的方程 $$\mu(x,y)P(x,y)\mathrm{d} x + \mu(x,y)Q(x,y) \mathrm{d}y = 0$$ 是恰当方程.
