\begin{array}{ll}\min &f(x) \\ \text{s.t.} & g_1(x) \ge 0\\ &\qquad \vdots \\ &g_m(x) \ge 0 \\ &e_1(x) =0 \\ &\qquad \vdots \\ &e_n(x) = 0 \end{array}
定义 不等式约束 $g_i(x)\ge 0$ , 如果在点 $x_0$ 处取等号, 则称该不等式约束是起作用的. 否则称为不起作用约束. 等式约束都是起作用约束.
定理 Kuhn-Tucker 设 $x^*$ 为该约束问题的极小点, 且假设目标函数和约束条件中出现的函数有一阶偏导, 约束条件中的起作用约束在 $x^*$ 处的一阶偏导线性无关. 则存在实数 $u_1,…,u_m,v_1,…,v_n$ 满足以下条件:
\begin{array}{l}\nabla f(x^*) -\left(u_1 \nabla g_1(x^*) + … + u_m \nabla g_m(x^*)\right)\\ \qquad-\left(v_1 \nabla e_1(x^*) + … + v_n \nabla e_n(x^*)\right)=0\\ u_i g_i(x^*)=0, i =1,…,m \quad \text{这说明不起作用约束$u_i=0$}\\ u_i \ge 0, i =1,…,m\end{array}
