对策论

纯策略的解

定理 矩阵对策 $G = \{S_1,S_2;A\}$ 在纯策略的意义下有解的充分必要条件是存在一个元是行中最小值, 列中最大值.

当一个矩阵对策找不到一个元是行中最小值, 列中最大值时, 开始考虑混合策略意义下的解.

$2\times 2$ 矩阵对策混合策略解的公式求法

$$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21}& a_{22}\end{pmatrix}$$

局中人 $I$ 的最优混合策略为 $$\left(\frac{a_{22} – a_{21}}{a_{22}+a_{11}-a_{12}-a_{21}},\frac{a_{11}-a_{12}}{a_{22}+a_{11}-a{12}-a{21}}\right)$$

剧中人 $II$ 的最优混合策略为 $$\left(\frac{a_{22} – a_{12}}{a_{22}+a_{11}-a_{12}-a_{21}},\frac{a_{11}-a_{21}}{a_{22}+a_{11}-a{12}-a{21}}\right)$$

对策值 $V_{G^*}$ 为$$V_{G^*} = \frac{\det(A)}{a_{11}+a_{22} – a_{12}-a_{21}}$$