群作用与Sylow定理

群作用

为了讲明白 Sylow 定理, 我们需要花些时间来讲群作用.

定义 设 $G$ 是群, $X$ 是一个非空的集合. 如果有 $\circ: G\times X \to X$, 满足以下两个条件

1. $\forall x \in X \left(e\circ x = x\right)$
2. $\forall a,b \in G \left( ab\circ x = a\circ(b\circ x) \right)$

则称群 $G$ 作用在集合 $X$ 上.

定义 一些群作用相关的概念

1. 轨道 $O_x = \{g\circ x: g\in G\}$
2. 稳定化子 $Stab(x) = \{g\in G:g\circ x=x\}$
3. 作用核 $Ker(X) = \{g\in G: \forall x \in X \left( g\circ x =x \right)\}$
4. $g$-不动点 $Fix(g) = \{x\in X: g\circ x = x\}$
5. 不动点 $Fix(G) = \{x\in X: \forall g\in G\left( g\circ x = x\right)\}$

定理 群 $G$作用在集合 $X$ 上, 设 $x\in X$, 则 $$[G:Stab(x)] = |O_x|$$ 简单来说就是稳定化子在群中的指数等于对应轨道的基.

证明: 只需建立 $A = \{g\ Stab(x):g\in G\}$ 到 $O_x$ 的双射, 定义 $\sigma:A\to O_x, g\ Stab(x) \mapsto g\circ x$ 即得.

下面要介绍一个显然但却经常要用到的类方程, 设群 $G$ 作用在 $X$ 上, $$\sum\limits_{i=1}^k |O_i| + |Fix(G)| = |X|$$ 其中 $O_i$ 是基大于等于 $2$ 的轨道.

推论 设 $G$ 是 $p$-群, 作用在 $X$ 上, 则有以下同余式成立 $$|X|\equiv |Fix(G)| \mod p$$ $G$ 共轭作用在 $G$ 上时, 易知 $|Z(G)|\ge p, p | |Z(G)|$.

证明: 显然.

Cayley定理

用群作用小试牛刀, 证明大名鼎鼎的 Cayley 定理.

引理 设群 $G$ 作用在集合 $X$ 上, 则 $Ker(X) \unlhd G$, 且 $G/Ker(X)$ 嵌入到 $S(X)$ 中(即 $G/Ker(X)$ 与 $S(X)$ 的某个子群同构), 其中 $S(X)$ 是 $X$ 上的对称群.

证明: 因为 $\circ: G\times X \to X, (g,x) \mapsto g\circ x$, 固定 $g$, 则构成一个 $X\to X$ 的双射 $\sigma_g$. $\Phi: G\to S(X), g\mapsto \sigma_g$ 是一个从 $G$ 到 $S(X)$ 的映射, 可以验证这是一个同态. $Ker(\Phi) = Ker(X),Im(\Phi) \le S(X)$. 根据同态基本定理得 $$G/Ker(X) \cong Im(\Phi) \le S(X)$$

定理 任一群 $G$ 可嵌入到对称群 $S(G)$ 中.

证明: 让群 $G$ 作用在群 $G$ 上, $g\circ x = gx$. $Ker(G) = \{e\}$. 所以由上面的定理 $$G\cong G/\{e\} \cong Im(\Phi) \le S(G)$$

Sylow第一定理

定理 设 $G$ 为有限群, $|G| = p^\alpha m$, 其中 $p$ 为素数且 $p\nmid m$, 则 $G$ 有 $p^\alpha$ 阶子群. 该 $p^\alpha$ 阶子群称为 $G$ 的 Sylow $p$-子群.

证明: 设 $\mathcal{U}=\{U\subseteq G: |U|=p^\alpha\}$, 让 $G$ 作用在 $\mathcal{U}$ 上, $gU = \{gu: u \in U\}$. $$|\mathcal{U}| = \binom{p^\alpha m}{p^\alpha}=m \prod\limits_{r=1}^{p^\alpha -1}\frac{p^\alpha m -r}{p^\alpha-r}=m\frac{a}{b}$$ 其中 $p\nmid a,p \nmid b$. 因此 $p\nmid |\mathcal{U}|$.

由 $$\sum\limits_{i=1}^k |O_i| = |\mathcal{U}|$$ 且 $p \nmid |\mathcal{U}|$, 所以 $\exists i, p \nmid |O_i|$, 取 $U \in O_i$, 设 $H = Stab(U)$. $p\nmid [G:H]$, 所以 $p^\alpha | |H|$, $p^\alpha \le |H|$. 下证 $|H| \le p^\alpha$. 设 $h\in H, x\in U$, 则 $hx\in hU = U$. 所以 $|H|=|Hx|\le |U|= p^\alpha$. 即得.

定理 (Cauchy 定理) 设 $G$ 为有限群, $|G| = p^\alpha m$, 其中 $p$ 为素数且 $p\nmid m$, 则 $G$ 有 $p$ 阶子群.

证明: 只要验证 Sylow $p$-子群 $P$ 有 $p$ 阶元即可. 取 $a\in G\backslash\{e\}$, 则 $o(a) = p^\beta(1\le \beta\le \alpha)$. 那么 $a^{p^{\beta-1}}$ 即为 $p$ 阶元.

Sylow第二定理

定理 设 $G$ 为有限群, $|G| = p^\alpha m$, 其中 $p$ 为素数且 $p\nmid m$, $H$ 是 $G$ 的一个 Sylow $p$-子群. 设 $K$ 是 $G$ 的一个 $p$-群, 则 $K$ 包含在某个 $H$ 的共轭子群中, 即 $\exists g\in G \left(K\subseteq gHg^{-1}\right)$

证明: 设 $X = \{xH: x\in G\}$, $K$ 作用在 $X$ 上, $k\circ xH = kxH$. $Fix(K) = \{xH:\forall k \in K \left(kxH = xH\right)\}$, 由 $p\nmid |X|$, 所以 $p\nmid |Fix(K)|$, 存在 $gH\in Fix(K)$, 使得 $K\le gHg^{-1}$. 得证.

Sylow第三定理

定义 (正规化子) 设 $G$ 是群, $H\le G$, $$N_G(H) = \{g\in G: g H g^{-1} = H\}$$ 称为 $H$ 在 $G$ 中的正规化子, $N_G(H)$ 是 $H$ 在其中正规的 $G$ 的最大子群. 且有以下关系成立 $$[G:N_G(H)] = |\{gHg^{-1}:g\in G\}|$$

证明: 只要验证 $$[G:N_G(H)] = |\{gHg^{-1}:g\in G\}|$$ 成立即可. 设 $X=\{gHg^{-1}:g\in G\}$, 群 $G$ 作用在 $X$ 上, $t\circ gHg^{-1} = tgHg^{-1}t^{-1}$, 其中 $t\in G$. 易得 $Stab(H) = N_G(H), O_H=\{gHg^{-1}:g\in G\}$, 由稳定化子在群中的指数等于对应轨道的基得, $$[G:N_G(H)]=|\{gHg^{-1}:g\in G\}|$$

定理 设 $G$ 为有限群, $|G| = p^\alpha m$, 其中 $p$ 为素数且 $p\nmid m$, $H$ 是 $G$ 的一个 Sylow $p$-子群. 设 $n_p$ 为 $G$ 中 Sylow $p$-子群的个数, 则 $$n_p=[G:N_G(H)],n_p|m, n_p\equiv 1 \mod p$$

证明: $$n_p = |\{gHg^{-1}: g\in G\}| = [G:N_G(H)]$$ 容易看到 $n_p| [G:H]=m$. 下设 $X= \{gHg^{-1}:g\in G\}$. $H$ 作用在 $X$ 上, $h\circ gHg^{-1}=hgH g^{-1}h^{-1}$. 由 $Fix(H) = \{gHg^{-1}:hgHg^{-1}h^{-1}=gHg^{-1}\}$ $$hgHg^{-1}h^{-1}=gHg^{-1}\iff \forall h\in H \left( g^{-1}hg\in N_G(H)\right)\implies g^{-1}Hg \le N_G(H)$$. 因为 $H\lhd N_G(H)$, 所以 $H$ 是 $N_G(H)$ 的唯一的 Sylow $p$-子群, 所以 $gHg^{-1} = H$. 所以 $Fix(H)$ 只有一个元素 $H$. 即得 $$n_p = |X|\equiv |Fix(H)|= 1\mod p$$

Sylow定理的应用

定理 Frattini 引理 设 $H$ 为 $G$ 的有穷正规子群, $P$ 是 $H$ 中的 Sylow $p$-子群, 则 $$G=HN_G(P)$$

证明: $\forall g \in G \left(gPg^{-1} \le gHg^{-1} =H\right)$, 又因为 $H$ 中的 Sylow $p$-子群都可以写成 $hPh^{-1}$. 所以 $\exists h\in H \left(gPg^{-1}= h P h^{-1}\right) $. 即得 $$\forall g\in G, \exists h\in H \left(h^{-1}gP = Ph^{-1} g\right)\iff \forall g \in G ,\exists h\in H\left(h^{-1}g \in N_G(P)\right)$$ 上面意味着 $$\forall g\in G\left(g \in HN_G(P)\right)$$

推论 设 $N_G(P)\le H\le G$, 其中 $P$ 是有限群 $G$ 的 Sylow $p$-子群, 则 $N_G(H) = H$.

证明: 设 $K = N_G(H)$, 则有 $P\le N_K(P) \le N_G(P)\le H \le K$. 由上面的 Frattini 引理得, $K = HN_K(P) = H$. 即得.

一些无关紧要的结论

定理 $p^2$ 阶群是 Abel 群, 其中 $p$ 为素数

证明: 设 $G$ 是 $p^2$ 阶群. $|Z(G)| =p \ \text{或}\ p^2$, 若 $|Z(G)| =p^2$, 则结论显然成立. 下设 $Z(G) = p$. $|G/Z(G)| = p$ 是循环群, 存在 $a\in G$ 使得 $G/Z(G) = \langle a \rangle$. $\forall x,y \in G$, $\exists m,n \in \mathbb{Z}\left(\bar{x} = \bar{a}^m, \bar{y} = \bar{a}^n\right)$. 即 $x=a^m u,y =a^n v$, 其中 $u,v \in Z(G)$. 可以验证 $$xy= a^m u a^n v= a^n v a^m u = yx$$ 所以 $G$ 是 Abel 群

定理 $p\not\equiv 1\mod q,q \not\equiv 1\mod p$, $pq$ 阶群是循环群. 其中 $p,q$ 为素数

证明: 设 $G$ 是上述 $pq$ 阶群, $n_p$ 是群 $G$ 中 Sylow $p$-子群的个数, $n_q$ 是群 $G$ 中 Sylow $q$-子群的个数. 由 Sylow 第三定理, $$n_p|q, n_p\equiv 1 \mod p\implies n_p =1$$ 同理 $n_q =1$. 所以可设 $P,Q$ 是 $G$ 中唯一的 Sylow $p$-子群和 Sylow $q$-子群, 因此 $P,Q$ 在 $G$ 中正规. $P=\langle x\rangle, Q = \langle y \rangle$, $$x^{-1}y^{-1} xy \in P \cap Q = \{e\}$$其中用到了 $P\unlhd G,Q \unlhd G$. 所以 $x,y$ 可交换. 设 $o(xy) = n$, 则 $$x^ny^n =e\implies x^n=y^{-n} \in P\cap Q =\{e\}$$ 所以 $p|n,q|n$, 又因为 $p,q$ 互素, 所以 $n=pq$

定理 $p^2q$ 阶群有正规的 $p^2$ 阶子群或正规的 $q$ 阶子群.

证明: 设 $G$ 是上述 $p^2q$ 阶群, $n_p$ 是群 $G$ 中 Sylow $p$-子群的个数, $n_q$ 是群 $G$ 中 Sylow $q$-子群的个数且 $n_p,n_q \neq 1$. 由 Sylow 第三定理, $$\begin{cases}n_p|q, n_p\equiv 1 \mod p\\ n_q | p^2,n_q \equiv 1 \mod q\end{cases}\implies \begin{cases}n_p = q,q=kp+1\\n_q=p^2,q|p^2-1 \end{cases} \implies q=p+1$$ 即得 $p=2,q=3$. 可知有 $4$ 个不同的 $3$ 阶子群, $G_1,G_2,G_3,G_4$, $G_i\cap G_j =\{e\},i\neq j$(因为 $|G_i\cap G_j|$ 整除 $3$, 所以是 $1$), 所以有 $8$ 个不同的 $3$ 阶元. 所以只可能有一个 $4$ 阶群. 矛盾.

定理 设 $H\le G$, $[G:H]$ 是 $G$ 的最小素因子, 则 $H\unlhd G$

证明: 设 $G$ 作用在 $X=\{xH:x\in G\}$, $g\circ xH = gxH$. 可知 $$Ker(X) = \{g\in G: \forall x\in G\left(gxH = xH\right)\}= N_G(H)$$. 有 Cayley 定理的引理可得 $G/N_G(H) \le S(X)$, 所以 $[G:N_G(H)] | [G:H]!$. 设 $[G:H] = p$, 则 $[N_G(H):H] | (p-1)!$. 由于 $[N_G(H):H] | |G| \wedge [N_G(H) :H]| (p-1)!$ 且 $|G|$ 与 $(p-1)!$ 互素, 所以 $[N_G(H):H]=1$, $H=N_G(H) \unlhd G$.

定理 (Burnside 引理) 设群 $G$ 作用在集合 $X$ 上, $N$ 是作用的不同的轨道数, 则 $$N = \frac{1}{|G|}\sum\limits_{g\in G} |Fix(g)|$$

证明: 只需用两种方法计算下面这个集合 $$S = \{(g,x)\in G\times X: g\circ x = x\}$$ 并且注意到稳定化子在群中的指数等于轨道的基.