Galois理论中的一些基本概念
定义 域 $F$ 的所有自同构构成一个群, 称为域 $F$ 的自同构群, 记为 $Aut(F)$
定义 设 $G\le Aut(F)$, $$Inv(G) = \{\alpha \in F: \forall \sigma \in G \left( \sigma(\alpha) =\alpha\right)\}$$ 称为 $G$ 的不变域
定义 设 $L/K$ 为域扩张, $$Gal(L/K) = \{\sigma \in Aut(L): \forall \alpha \in K \left(\sigma (\alpha) = \alpha\right)\}$$ 称为域扩张 $L/K$ 的 Galois 群
Galois扩张
定义 域扩张 $L/K$ 是可分的正规扩张, 则称 $L/K$ 为 Galois 扩张
Galois基本定理
定理 设 $L/K$ 为有限 Galois 扩张,
- 若 $K\le M \le L$, 则 $L/M$ 是有限 Galois 扩张, $Gal(L/M) \le Gal(L/K)$ 且 $Inv\left(Gal(L/M)\right) = M$. 还有以下的结论, $$M/K \ \text{是正规扩张}\iff Gal(L/M) \lhd Gal(L/K)$$ 且当 $M/K$ 为正规扩张时, 有 $$Gal(L/K)/ Gal(L/M) \cong Gal(M/K)$$
- 若 $H \le Gal(L/K)$, 则 $K \le Inv (H) \le L$, 且 $Gal\left(L/Inv(H)\right) = H$
Abel扩张
定义 设 $L/K$ 为域扩张, 若 $Gal(L/K)$ 为 Abel 群, 则 $L/K$ 称为 Abel 扩张
多项式的Galois群
定义 设 $K$ 为域, $f(x)\in K[x]$, 设 $f(x)$ 在 $K$ 上的分裂域为 $L$, 则 $Gal(L/K)$ 为 $f(x)$ 在 $K$ 上的 Galois 群
定义 多项式 $f(x) \in K[x]$ 等于零在 $K$ 上根式可解是指存在有穷长单扩张链 $$K = K_0\le K_1 \le … \le K_n $$ 使得 $K_i = K_{i-1}(\alpha_i)$ 且 $\alpha_i^{m_i} \in K_{i-1}$ 且 $f(x)$ 在 $K_n$ 可以分解成一次因式的乘积
定理 设 $K$ 是特征为零的域, $f(x) \in K[x]$ 且次数为正, 设 $f(x)$ 在 $K$ 上的分裂域为 $L$, 则 $f(x)=0$ 在 $K$ 上根式可解的充分必要条件为 $Gal(L/K)$ 是可解群
