一些结论
- 整环上的多项式环是整环
- UFD 上的多项式环是 UFD
- 域上的一元多项式环是 ED
- 域上的多元多项式环不是 PID
交换幺环上的多项式环
定理 交换幺环上的多项式环可以做带余除法
推论 设 $R$ 是交换幺环, $f(x)\in R[x]$ 且 $c\in R$, 则 $$(x-c)|f(x) \iff f(c) = 0$$
证明: 利用带余除法 $$f(x) = (x-c) q(x) + r(x) $$
整环上的多项式环
定理 整环上的多项式环是整环
这个定理很快就可以得到一个推论
推论 整环 $R$ 上的 $n$ 元多项式环 $R[x_1,…,x_n]$ 是整环, 且 $$U(R[x_1,…,x_n])= U(R)$$
定理 整环上的 $n$ 次多项式最多有 $n$ 个不同的根
证明: 对 $n$ 归纳
利用上一定理可以证明以下的很重要的定理
定理 设 $R$ 为整环, 则 $R$ 的单位群 $U(R)$ 的有限子群都是循环群
推论 有限域 $F_q$ 的乘法群是循环群
UFD 上的多项式不可约的 Eisenstein 判别法
定理 Eisenstein 判别法 设 $D$ 为 UFD, $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + …+ a_1 x + a_0 \in D[x]$, 若存在不可约元 $p\in D$ 使得 $$p\nmid a_n, p\mid a_{n-1},…,a_0, p^2 \nmid a_0$$ 则 $f(x)$ 在 $F[x]$ 上不可约, 其中 $F$ 是 $D$ 的商域($f(x)$ 有可能在 $D[x]$ 上可约)
定理 (Eisenstein 判别法等价表述) 设 $D$ 为 UFD, $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + …+ a_1 x + a_0 \in D[x]$ 是 $D[x]$ 上的本原多项式(指 $(a_0,a_1,…,a_n) = 1$), 若存在不可约元 $p\in D$ 使得 $$p\nmid a_n, p\mid a_{n-1},…,a_0, p^2 \nmid a_0$$ 则 $f(x)$ 在 $D[x]$ 上不可约, 从而 $f(x)$ 在 $F[x]$ 也不可约, 其中 $F$ 是 $D$ 的商域
域上的多项式环
- 域上多项式 $f(x)$ 有重根的充分必要条件是 $(f(x),f'(x)) \neq 1$
- 域上多项式 $f(x)$ 不可约, 则 $(f(x), f'(x)) \neq 1 \iff f'(x) =0$
定义 设 $f(x)$ 是域 $F$ 上的多项式, 若 $f'(x)$ 在 $F[x]$ 上的不可约因子都没有重根, 则称 $f(x)$ 是 $F$ 上的可分多项式
