可分元和可分扩张都是在代数扩张的前提下.
定义 可分元 设 $L/K$ 为代数扩张, $\alpha \in L$, 若 $\alpha$ 在 $K$ 上的极小多项式在分裂域上没有重零点, 则称 $\alpha$ 是 $K$ 上可分元.
定义 设 $L/K$ 为代数扩张, $L$ 中的每个元都是 $K$ 上可分元, 则称 $L/K$ 为可分扩张
一个元是可分元的充分必要条件如下
定理 设 $L/K$ 是代数扩张, $\alpha\in L$ 是可分元的充分必要条件是 $f'(x)$ 不是零多项式, 其中 $f(x)$ 是 $\alpha$ 的极小多项式
一个代数扩张时可分扩张有以下的判断手段
定理 设 $L/K$ 为域的代数扩张, 若 $K$ 为有限域或 $ch(K)=0$, 则 $L/K$ 为可分扩张
有限可分扩张
经过上面定理的筛选, 只剩下特征为素数 $p$ 的无限域
定理 设域 $K$ 是特征为 $p$ 的无限域, $L/K$ 为有限次扩张(当然为代数扩张), 令 $KL^p$ 为 $L^p=\{\alpha^p : \alpha \in L\}$ 在 $K$ 上的线性空间, 则
- $KL^p$ 一定是 $K$ 的有限次扩域
- $L/K$ 是可分扩张 $\iff$ $KL^p = L$
定理 设 $L/M$ 与 $M/K$ 是域的有限可分扩张, 则 $L/K$ 也是域的有限可分扩张
证明: $KL^p = K(ML)^p = KM^pL^p = ML^p = L$
定理 有限可分扩张为单扩张
