$R$-模与向量空间

$R$-模

定义 设 $R$ 是一个交换幺环, $V$ 是一个加法 $Abel$ 群. 定义映射 $\circ: R\times V \to V$ 满足以下三个条件

1. $\forall \alpha \in V, 1 \circ \alpha =\alpha $, 其中 $1$ 是 $R$ 的单位元
2. $\forall \alpha,\beta \in V, \forall k \in R, k\circ(\alpha +\beta) = k\circ \alpha + k \circ \beta$
3. $\forall \alpha \in V, \forall k,l \in R, (k+l)\circ \alpha = k \circ \alpha + l \circ \alpha, (kl)\circ \alpha = k\circ (l \circ \alpha)$

则称 $(V,R,\circ)$ 为 $R$-模

向量空间

定义 设 $F$ 是域, $V$ 是加法 Abel 群, 则 $R$-模 $(V,F,\circ)$ 称为向量空间