定理 设 $F_q$ 为 $q$ 元域, 则 $$x^{q^n} – x$$ 是 $F_q[x]$ 中所有次数整除 $n$ 的首一不可约多项式的乘积
常利用这个定理去求有限域上的 $n$ 次不可约多项式
定理 设 $F_q$ 为 $q$ 元域, 则对任意正整数 $n$, $F_q[x]$ 中有 $n$ 次首一不可约多项式
定理 对于任意 $p^n$, 存在同构意义下唯一的 $p^n$ 元有限域
有限域的结构
定理 (有限域的结构定理) 有限域 $F_q$, 其中 $q = p^n$, $F_q$ 的加法群是 $n$ 个 $\mathbb{Z}_p$ 的直和, 乘法群是 $q-1$ 阶循环群.
定理 设 $q=p^n$, 则 $Aut(F_q) = Gal(F_q/\mathbb{Z}_p) = \langle \sigma\rangle$, 其中 $\sigma: \alpha \mapsto \alpha^p$
定理 (Wedderburn) 有限体都是有限域
