商域
定义 设 $R$ 是整环, 则 $$F = \{\frac{a}{b} :a\in R,b \in R\backslash \{0\}\}$$ 按照如下加法和乘法 $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd},\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}= \frac{ac}{bd}$$ 构成域, 称为整环 $R$ 的商域
有限域的性质
定理 设 $F_q$ 是 $q = p^n$ 元域, 则有等式 $$x^{q-1} -1 = \prod\limits_{a \in F_q^*} (x-a)$$ 从而 $$x^q – x = \prod\limits_{a \in F_q}(x-a)$$
利用有限域可以证明下面的 Wilson 同余式
定理 Wilson 同余式 设 $p$ 是素数, 则 $$(p-1)! \equiv -1 \mod p$$
域的特征
定义 设 $F$ 为域, 定义 $F$ 的特征 $ch(F)$ 为 $$ch(F) = \begin{cases}p&,\text{单位元}\ e\ \text{的加法阶为}\ p \\ 0 &, \text{单位元}\ e \ \text{的加法阶为}\ \infty \end{cases}$$
定理 域 $F$ 的特征要么为 $0$, 要么为一个素数 $p$
定理 特征为素数 $p$ 的域中有以下恒等式 $$(a_1 + … a_n)^{p^m} = a_1^{p^m}+…+ a_n^{p^m}$$
