域扩张的次数
定义 设 $L/K$ 是域扩张, 将 $L$ 看作加法Abel群, 定义映射 $k\circ \alpha = k \alpha , k\in K, \alpha \in L$. $(L,K, \circ)$ 构成一个向量空间, 该向量空间的维数称为域扩张 $L/K$ 的维数, 记为 $[L:K]$.
定理 设 $L/M$ 和 $M/K$ 都是有限次扩张, 则 $L/K$ 也是有限次扩张 $$[L:K] = [L:M][M:K]$$
由 $X$ 生成的扩环, 扩域
定义 设 $L/K$ 是域扩张, $\varnothing \neq X\subseteq L$, 由 $X$ 生成的扩环 $K[X]$ 为所有包含 $K\cup X$ 的 $L$ 的子环的交. 由 $X$ 生成的扩域 $K(X)$ 为所有包含 $K\cup X$ 的 $L$ 的子域的交.
若 $X = \{\alpha_1,…, \alpha_n\}$, 则 \begin{array}{ll}K[\alpha_1 , …, \alpha_n] &= \{P(\alpha_1,…,\alpha_n) : P(x_1,…,x_n) \in K[x_1,…,x_n] \}\\ K(\alpha_1,…,\alpha_n) &= \{\frac{P(\alpha_1,…,\alpha_n)}{Q(\alpha_1,…,\alpha_n)}:P,Q\in K[x_1,…,x_n] \wedge Q(\alpha_1,…,\alpha_n)\neq 0\}\end{array}
定理 若 $\alpha$ 是代数元, 则 $K[\alpha] = K(\alpha)$, 且 $\{1,\alpha,…,\alpha^{n-1}\}$ 为 $K(\alpha) / K$ 的一组基底
代数元与超越元
定义 设 $L/K$ 是域扩张, $\alpha \in L$, 若存在 $f(x) \in K[x]$ 使得 $f(\alpha) =0$, 则称 $\alpha$ 为 $K$ 上的代数元, 否则称为 $K$ 上的超越元.
引理 设 $L/K$ 为域扩张, $\alpha\in L$ 是代数元的充分必要条件是存在不全为零的 $\alpha_1,….,\alpha_n\in L$ 使得 $\alpha V \subseteq V$, 其中 $$V=K\alpha_1+…+K\alpha_n$$
定义 设 $\mathbb{C}/\mathbb{Z}$ 是域扩张, $\mathbb{Z}$ 上的代数元称为代数整数
定理 所有代数整数构成的集合 $\bar{\mathbb{Z}}$ 按照复数的加法和乘法构成环
定理 有理的代数整数等同于普通整数 $$\mathbb{Q}\cap \bar{\mathbb{Z}} = \mathbb{Z}$$
代数元的极小多项式
域上的多项式环是 ED, 所以是主理想整环.
定义 设 $\alpha$ 是域 $K$ 上的代数元, $I = \{f(\alpha) =0 :f(x) \in K[x]\}$ 构成一个 $K[x]$ 的理想, 因此 $I = (g(x))$, 称 $g(x)$ 是 $\alpha$ 在 $K$ 上的极小多项式, 其中 $g(x)$ 是首一多项式.
定义 $K$ 上代数元 $\alpha$ 的次数为 $\alpha$ 在 $K$ 上的极小多项式的次数
单扩张
定义 设 $L/K$ 是域扩张, $\alpha\in L$, $K(\alpha)/ K$ 称为单扩张
定理 $K$ 添加 $K$ 上代数元 $\alpha$ 形成的域 $K(\alpha)$ 与 $K[x]/(f(x))$ 同构, $f(x)$ 为 $\alpha$ 在 $K$ 上的极小多项式.
定理 单扩张定理 有限可分扩张都是单扩张
有穷次扩张
定理 设 $L/K$ 为域扩张, $L/K$ 是有穷次扩张的充分必要条件是 $L = K[\alpha_1,…,\alpha_n]$, 其中 $\alpha_1,…,\alpha_n$ 是$K$ 上的代数元.
代数扩张
定义 设 $L/K$ 是域扩张, 如果 $L$ 中的每个元都是 $K$ 上的代数元, 则称 $L/K$ 为代数扩张
定理 设 $L/K$ 为域扩张, 则 $$\bar{K} = \{\alpha \in L: \alpha \ \text{为 $K$ 上代数元}\}$$ 为 $L$ 的子域, 且 $\bar{\bar{K}} = \bar{K}$
代数闭域
定义 域 $F$ 称为代数闭域, 如果 $F[x]$ 上的任一多项式都可以表示成一次因式的乘积
定理 代数基本定理 复数域 $\mathbb{C}$ 为代数闭域
