各类整环

UFD 唯一因子分解整环

PID 主理想整环

定义 交换幺环 $R$ 中由一个元 $a$ 生成的理想$$(a) = Ra = \{ra:r\in R\}$$称为主理想

命题 整环上的多项式环不是主理想整环, 域上的多项式环是主理想整环

ED 欧几里得整环

三个常见的 ED

1. 整数环 $\mathbb{Z}$
2. 域 $F$ 上的多项式环
3. 定义 $$R_d=\begin{cases}\{a+b\sqrt{d}:a,b\in \mathbb{Z}\} &,d \not\equiv 1 \mod 4\\ \{a+ b\frac{-1+\sqrt{d}}{2}:a,b\in \mathbb{Z}\} &,d \equiv 1 \mod 4\end{cases}$$ 已知 $$d\in\{-1,-2,-3,-7,-11\}$$ 和 $$ d \in \{2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,69,73\} $$ 时, $R_d$ 是 ED

欧几里得整环中可以用辗转相除法求最大公因子

整环之间的关系

1. 域是ED
2. ED 是 PID
3. PID 是 UFD
4. UFD 是整环