极大理想和素理想
在交换幺环中定义极大理想和素理想.
定义 设 $R$ 是交换幺环, $I$ 是 $R$ 的一个理想且包含 $I$ 的理想只有 $I$ 和 $R$, 则称 $I$ 是 $R$ 的一个极大理想.
定义 设 $R$ 是交换幺环, $I$ 是 $R$ 的一个理想且 $\forall ab \in I \implies a\in I \vee b \in I$, 则称 $I$ 是 $R$ 的一个素理想.
定理 极大理想都是素理想.
证明: 设 $I$ 是一个极大理想, 存在 $ab\in I$, 但是 $a,b\notin I$. $\langle a \rangle + I = R$ 和 $\langle b \rangle + I = R$ $$ra + i =1\\ r’b + i’=1$$ 将上下两式对应相乘. $$rr’ab + rai’ + r’bi + ii’ = 1$$ 左端均属于 $I$, 即得 $1\in I, I=R$. 矛盾, 所以 $I$ 是素理想.
不可约元和素元
在整环中定义不可约元和素元
定义 设 $R$ 是整环, $p\in R$, $a|p \implies a\sim 1 \vee a \sim p$, 则称 $p$ 为 $R$ 的不可约元.
定义 设 $R$ 是整环, $p\in R$, $p|ab \implies p|a \vee p|b$, 则称 $p$ 为 $R$ 的素元.
定理 素元都是不可约元.
证明: 设 $p$ 是一个素元, $p=ab$, 则 $p|a \vee p|b$. 设 $p|a$, 则由 $a|p$ 得 $a\sim p$. 设 $p|b$ 则 $b\sim p, b=up$, 其中 $u$ 是单位. $$p=ab=uap \implies ua=1 \implies a \ \text{是单位}$$ 所以 $p$ 是不可约元.
定理 在主理想整环中, 素元和不可约元相等.
证明: 设 $p$ 是不可约元, 如果有理想 $I$ 包含 $\langle p \rangle$, 则存在 $a\in R$, $I=\langle a \rangle$ 且 $a|p$. $a|p \implies a\sim 1 \vee a\sim p$. 所以 $I = R\vee I = \langle p\rangle$. 由此可知 $\langle p \rangle$ 是极大理想, 所以 $\langle p \rangle$ 是素理想, 所以 $p|ab \implies p|a \vee p|b$, 即 $p$ 是素元.
例题 $2x+2$ 在 $\mathbb{Z}[x]$ 中是可约元, 因为 $2$ 和 $x+1$ 均不可约, $2x + 2$ 在 $\mathbb{Q}[x]$ 中是不可约元.
