定理5.1 设 $G_1,…,G_n$ 为群, $G= G_1 \times G_2… \times G_n$ 为其外直积. 令 $$G_i^* = \{\langle e_1,…,x_i,…,e_n\rangle \in G :x_i\in G_i\}$$ 则有 $$G_i \cong G_i^* \unlhd G \ \text{而且} \ G_i^* \cap \prod\limits_{j\neq i} G_j^* = \{e\} $$ 此外 $G_1^* …G_n^* = G$
证明: 显然
定理5.2 设 $G_1,…,G_n$ 为群 $G$ 的正规子群, 则下面三个条件彼此等价:
- $G_i \cap \prod\limits_{j\neq i} G_j = \{e\}$
- 每个 $x \in G$ 可用至多一种方式表示成 $x_1…x_n$, 这里 $x_i \in G_i$
- $e$ 表示成 $x_1…x_n$ (其中 $x_i \in G_i$)时必有 $x_1=…=x_n = e$
证明: $1\implies 2$: $x_1…x_n = y_1…y_n$ 得 $y_1^{-1} x_1 = (y_2…y_n)(x_2…x_n)^{-1}$, 所以 $x_1=y_1$. 类似地可以得到 $x_i = y_i$
$2\implies 3$: 显然
$3\implies 1$: $x_i = x_1…x_{i-1}x_{i+1}…x_{n}\in G_i \cap \prod\limits_{j\neq i} G_j$. 可得 $e = x_1’…x_{i-1}’ x_i^{-1} x_{i+1}…x_n$. 可得 $x_i^{-1} = e$
设 $G_1,…,G_n$ 都是 $G$ 的正规子群, 若 $G_1…G_n = G$ 且 $G_i\cap \prod\limits_{j \neq i} G_j = \{e\}$, 则称 $G$ 为 $G_1,…,G_n$ 的内直和.
引理5.1 设 $H \unlhd G,K\unlhd G$, 且 $H \cap K = \{e\}$. 则对任何 $h\in H$ 与 $h\in K$ 都有 $hk=kh$.
证明: 由于 $H$ 与 $K$ 在 $G$ 中正规, $$[h,k] = h^{-1}k^{-1}hk \in H\cap K ={e}$$ 所以 $hk =kh$
定理5.4 设群 $G$ 为其正规子群 $G_1,…,G_n$ 的内直和, 则群 $G$ 同构于外直积 $G_1\times G_2\times … \times G_n$
证明: 设 $\sigma: G_1\times …\times G_n \to G_1 …G_n$, $\sigma(\langle x_1,…,x_n\rangle) = x_1…x_n$. 显然是双射. 下面去验证这是一个同态.
\begin{array}{ll} \sigma(xy) &= \sigma(\langle x_1 y_1,…,x_n y_n\rangle) \\ &= (x_1 y_1)…(x_n y_n) \\ &= x_1 x_2 y_1 y_2(x_3 y_3)…(x_n y_n)\\ &= (x_1…x_n) (y_1…y_n)\\&=\sigma(x)\sigma(y)\end{array}
可以不区分外直积和内直积,统称为直积.
