今天做题的时候遇到了 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d}x$ 这个广义积分. 我并不知道它的值, 所以才写下这篇文章.
最重要最常用的是
Euler-Poisson积分
$\int_0^{+\infty} e^{-x^2} \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$
证明 这个使用二重积分加上极坐标变换即可证明
Euler积分
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x)\mathrm{d}x = -\frac{\pi}{2} \ln 2$
倒是做过一个与 Euler 积分有关的题目
例 求解定积分 $\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2} \mathrm{d}x$
一个没有名字的广义积分
$\int_0^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} \mathrm{d}x =\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2}$
证 这道题利用傅里叶变换就会简单很多, 设 $$f(t) = \begin{cases}1&,|t|\le \delta\\ 0&,|t|>\delta\end{cases} (\delta >0)$$ 则它的傅里叶变换为 $$F(w) = 2 \delta \frac{\sin \delta w}{\delta w}$$
让 $\delta =1$, 再利用帕塞瓦尔不等式 $$\int_{-\infty}^{+\infty}f^2(t) \mathrm{d} t = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty } |F(w)|^2 \mathrm{d} w$$ 即得 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d} x = \frac{\pi}{2}$
$\int_0^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2}\mathrm{d} x = – \int_0^{+\infty} \sin^2 x \mathrm{d}x = -\frac{\sin^2 x}{x}|_0^{\infty} +\int_0^{+\infty} \frac{2\sin x \cos x}{x} \mathrm{d} x=\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \mathrm{d} t = \frac{\pi}{2}$
