定义 设 $f(x,y)$ 是 $[a,b]\times [c,d]$ 上的函数， 对固定的 $y\in [c,d]$, $f(x,y)$ 关于 $x$ 可积. 则称 $$I(y) = \int_a^b f(x,y) \mathrm{d}x$$ 称为关于 $y$ 的含参变量积分.
接下来考虑的问题是: $I(y)$ 的连续性,可导性
定理 设 $f(x,y)$ 在 $[a,b]\times[c,d]$ 上连续, 则 $$I(y) = \int_a^b f(x,y) \mathrm{d}x$$ 连续
证明 显然.
定理 设 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 在 $[a,b]\times [c,d]$ 上连续, 则 $$I(y) = \int_a^b f(x,y) \mathrm{d}x$$ 可积且 $$I'(y) = \int_a^b \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \mathrm{d}x$$
证明 积分次序可交换来证明
定理 设 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 在 $[a,b]\times [c,d]$ 上连续, $a(y),b(y)$ 可导, 则 $$I(y) = \int_{a(y)}^{b(y)} f(x,y) \mathrm{d}x$$ 可积且 $$I'(y) = \int_{a(y)}^{b(y)} \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \mathrm{d}x + f(b(y),y)b'(y) – f(a(y),y) a'(y)$$
