连续
定义 设 $f:X\to Y$, 其中 $X$ 和 $Y$ 是两个拓扑空间. 若对任意开集 $V\subseteq Y$, $f^{-1}(V)$ 是 $X$ 中的开集, 则称 $f$ 是连续映射
定义 (度量空间中的连续) 设 $f:X \to Y$, 其中 $(X,\rho_1)$ 和 $(Y,\rho_2)$ 是两个度量空间. $x_0\in X$, 若 $$\forall \varepsilon>0, \exists \delta >0, \forall x \in X \wedge \rho_1(x,x_0)<\delta \left(\rho_2(f(x),f(x_0))<\varepsilon \right)$$ 则称 $f$ 在 $x_0$ 处连续, 若 $f$ 在 $X$ 的每个点都连续, 则称 $f$ 是连续函数.
一致连续
在一般的拓扑空间中并不好考虑一致连续, 所以接下来就是在度量空间中给出一致连续的定义
定义 设 $f:X \to Y$, 其中 $(X,\rho_1)$ 和 $(Y,\rho_2)$ 是两个度量空间. 若 $$\forall \varepsilon>0, \exists \delta >0, \forall x,y \in X \wedge \rho_1(x,y)<\delta \left(\rho_2(f(x),f(y))<\varepsilon \right)$$ 则称 $f$ 一致连续.
等度连续
等度连续与一致连续最大的区别在于等度连续刻画的是一个函数族的性质.
定义 设 $\mathcal{F}$ 是从度量空间 $(X,\rho_1)$ 到度量空间 $(Y,\rho_2)$ 的一族映射(可以不是全体), 若 $$\forall \varepsilon>0,\exists \delta >0,\forall f\in \mathcal{F}, \forall x,y\in X \wedge \rho_1(x,y) < \delta \ \left(\rho_2(f(x),f(y))<\varepsilon\right)$$
