定理 设 $(X,\rho)$ 是一个完备的度量空间, $T:X \to X$, 且满足 $$\rho(Tx,Ty) \le \theta \rho(x,y)$$ 其中 $0\le \theta<1$. 那么 $T$ 称为压缩映射, $T$ 在 $X$ 中存在唯一的不动点.
证明: 在 $X$ 中任取一点 $x_0$ $$x_1 = Tx_0, x_2 = Tx_1,…, x_{n+1} = T x_n,…$$ 接下来证明 $x_n$ 是收敛的. $$\rho(x_n,x_{n+1}) \le \theta^n \rho(x_0,T x_0)$$ 利用三角不等式 \begin{array}{ll}\rho(x_n,x_{n+p}) &\le \rho(x_n,x_{n+1}) + … + \rho(x_{n+p-1} , x_{n+p})\\ &= (\theta^n + … + \theta^{n+p-1})\rho(x_0, Tx_0)\\ &\le \frac{\theta^n}{1-\theta}\rho(x_0,Tx_0) \to 0 \ \text{as}\ n \to \infty\end{array} 所以 $x_n$ 收敛于一点 $\bar{x}$. 由于 $T$ 的连续性, 可知 $\bar{x}$ 就是不动点. 假设有两个不动点 $\bar{x},\bar{y}$, 则有 $$\rho(\bar{x},\bar{y}) = \rho(T\bar{x},T\bar{y}) \le \theta \rho(\bar{x},\bar{y}) $$ 显然矛盾, 所以只有一个不动点.
定义 $x\in X$, $Tx= x$, 则称 $x$ 为 $T$ 的不动点.
推广 设 $(X,\rho)$ 是一个完备的度量空间, $T:X \to X$, 且满足 $$\rho(T^nx,T^ny) \le \theta \rho(x,y)$$ 其中 $0\le \theta<1$. 那么 $T$ 在 $X$ 中存在唯一的不动点.
