度量空间
定义 设 $X$ 是一个非空集合, 如果对 $X$ 中任意两个元素 $x,y$ 都有一个非负实数 $\rho(x,y)$ 与它们对应. 距离 $\rho:X\times X \to R_{\ge 0}$ 满足下列三个条件
- 严格正定性 $\forall x,y \in X, \rho(x,y)\ge 0$, 且 $\rho(x,y)=0 \iff x=y$
- 对称性 $\forall x,y\in X,\rho(x,y)=\rho(y,x)$
- 三角不等式 $\forall x,y,z\in X, \rho(x,y) \le \rho(x,z)+\rho(z,y)$
则称 $(X,\rho)$ 为一个度量空间
有了距离后, 可以定义收敛.
定义 设 $\{x_n\}$ 是 $(X,\rho)$ 中的一个序列, 如果存在 $x_0$, 使得 $$\forall \varepsilon>0, \exists N>0, \forall n>N, \rho(x_n,x_0) <\epsilon$$ 则称 $\{x_n\}$ 收敛于 $x_0$
定义 $\{x_n\}$ 是 $(X,\rho)$ 中的一个序列, 满足 $$\forall \varepsilon >0,\exists N>0, \forall n,m >n, \rho(x_n,x_m)<\varepsilon$$, 则称 $\{x_n\}$ 是 $(X,\rho)$ 的一个基本点列.
定义 如果 $(X,\rho)$ 中的任意一个基本点列都收敛于 $X$ 中一点, 则称 $(X,\rho)$ 是完备度量空间.
赋范线性空间
定义 设 $E$ 是实(复)线性空间, 如果对于 $E$ 中的每个元素 $x$ 都有一个实数 $\|x\|$ 与它对应. 且满足下列三个条件
- 严格正定性 $$\|x\|\ge 0 \ \text{且}\ \|x\| =0 \iff x=0$$
- 绝对一次齐次性 $$\|ax\|=|a|\|x\|$$
- 三角不等式 $$\|x+y\|\le \|x\|+\|y\|$$
定义 完备的赋范线性空间称为巴纳赫空间
内积空间
定义 设 $E$ 是实(复)线性空间, 如果对于 $E$ 中任意一对元素 $x,y$ 都有一个实数 $(x,y)$ 与他们对应, 且满足以下三个条件
- 对第一变元的线性 $(\alpha x+\beta z,y) = \alpha (x,y) + \beta (z,y)$
- 共轭对称性 $(x,y)=\overline{(y,x)}$
- 严格正定性 $(x,x)\ge 0$ 且 $(x,x)=0 \iff x=0$
定义 完备的内积空间称为希尔伯特空间
定理 如果赋范线性空间 $E$ 的范数 $\|\|$ 满足 $$\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2$$ 则可以利用极化恒等式 $$(x,y)=\frac{1}{4}\left(\|x+y\|^2 -\|x-y\|^2 + i\|x+iy\|^2 – i\|x-iy\|^2\right)$$ 定义内积 $(\cdot,\cdot)$
