Riemann映射定理

定义 若 $f:\Omega_1 \to \Omega_2$ 是一个全纯双射, 则称 $\Omega_1$ 和 $\Omega_2$ 双全纯等价.

定理 (Riemann 映射定理) 设 $\Omega$ 是 $\mathbb{C}$ 中的单连通区域且 $\Omega \neq \mathbb{C}$. 则对于任意一点 $z_0 \in \Omega$, 存在唯一的全纯双射 $f:\Omega\to D(0,1)$ 满足 $f(z_0) =0, f'(z_0)>0$

定理 (单值化定理) 任意单连通的 Riemann 曲面一定一对一地全纯等价于下列三个区域之一: 单位圆, 复平面 $\mathbb{C}$, 扩充复平面 $\hat{\mathbb{C}}$

对称原理

定理 设 $\Omega$ 是一个区域, 且在实轴的一侧. 边界包含实轴的线段 $s$(端点不在内). 若 $f$ 在 $\Omega$ 上全纯且在 $s$ 上取实数, 则存在函数 $F(z)$ 在 $\Omega\cup s\cup \bar{\Omega}$ 上全纯, 在 $\Omega\cup s$ 上 $F(z) = f(z)$, $F(\bar{z}) = \overline{F(z)}$

正规族与Montel定理

定义 若 $\mathcal{F}$ 是 $\Omega$ 上的一族函数, 如果 $\mathcal{F}$ 中的任一序列都有子序列在 $\Omega$ 中内闭一致收敛, 则称 $\mathcal{F}$ 是 $\Omega$ 上的正规族.

定理 (Montel 定理) 设 $\Omega$ 是一个区域, $\mathcal{F}$ 是 $\Omega$ 的一族全纯函数, 如果 $\forall f\in \mathcal{F}, \forall z\in \Omega$, 有 $|f(z)|\le M$, 则 $\mathcal{F}$ 是 $\Omega$ 上的正规族.

Ascoli-Arzela定理

定理 若 $K$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的紧集. 若 $\mathcal{F}$ 是 $K$ 上等度连续且一致有界的函数族, 则 $\mathcal{F}$ 中有子序列在 $K$ 上一致收敛.