Cauchy积分定理与Cauchy积分公式

简单介绍零伦, 如果一个映射与常值映射同伦, 则称它为零伦.

柯西积分定理

直接介绍最强版本的柯西积分定理

定理 设 $\Omega$ 是区域, $f\in H(\Omega)$, $\gamma$ 是一条零伦的可求长的闭曲线, 则 $$\int_\gamma f(z) \mathrm{d}z =0$$

该版本还有一个等价的版本.

定理 设 $\Omega$ 是有界区域且边界由有限条可求长简单闭曲线组成, $f \in H(\Omega)\cap C(\bar{\Omega})$, $\gamma = \partial \Omega$, 则 $$\int_\gamma f(z) \mathrm{d} z =0$$

柯西积分公式

定理 设 $\Omega$ 是区域, $f\in H(\Omega)$, $\gamma$ 是一条关于 $z$ 零伦的可求长的闭曲线, 则 $$f(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(\xi)}{\xi-z} \mathrm{d} \xi$$ 而且推广一下 $$f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}} \mathrm{d}\xi$$

推论 设 $\Omega$ 是一个区域, $f\in H(\Omega)$, $D(z,r) \subseteq \Omega$ 且 $\forall z \in \bar{D}(z,r), |f(z)|\le M$. 则 $$|f^{(n)} (z)| \le \frac{n!M}{r^{n}} $$

推论 有界整函数是常数

定理 设 $\Omega$ 是有界区域且边界由有限条可求长简单闭曲线组成, $f \in H(\Omega)\cap C(\bar{\Omega})$, $\gamma = \partial \Omega$, 则 $$f(z) = \frac{1}{2 \pi i} \int_\gamma \frac{f(\xi)}{\xi-z} \mathrm{d}\xi$$

柯西积分定理的逆定理(Morera定理)

定理 设 $\Omega$ 是一个区域, $f\in C(\Omega)$ 且满足对 $\Omega$ 内的任意可求长闭曲线(可以换成任意三角形)上的积分为 $0$, 则 $f\in H(\Omega)$

Riemannn定理

定理 若 $f$ 在$\tilde{D}=D(z_0,r)\backslash \{z_0\}$ 上全纯, 且在 $\tilde{D}$ 上有界. 则 $f$ 可以解析开拓到 $D(z_0,r)$ 上.

零点的孤立性

定理 设 $\Omega$ 是一个区域, $f\in H(\Omega)$. 若 $f\not\equiv 0$, 则 $f$ 的零点是孤立的. 反过来说 $f$ 在一个有聚点的集合 $E$ 上为 $0$, 则 $f$ 在 $\Omega$ 上恒为 $0$.

辐角原理

定理 设 $\Omega$ 是一个区域, $f\in H(\Omega)$, $\gamma$ 是一个正向简单闭曲线, 则 $$N-P = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f'(z)}{f(z)} \mathrm{d}z$$ $N,P$ 是 $\gamma$ 内 $f$ 的零点和极点个数(按重数记)

推论 若 $\{f_n\}$ 是区域 $\Omega$ 上的全纯函数且全不等于 $0$, $\{f_n\}$ 在 $\Omega$ 上内闭一致收敛于 $f$. 则 $f$ 在 $\Omega$ 上要么恒为 $0$, 要么恒不为 $0$.

儒歇定理

定理 设 $\Omega$ 是一个区域, $f,g\in H(\Omega)$, $\gamma$ 是一条零伦的可求长简单闭曲线, 且 $$|f(z)-g(z)| \le |f(z) \ \text{或}\ g(z)|$$ 则 $f,g$ 在 $\gamma$ 内有相同的零点个数.

最大模原理

定理 (开映射定理) 设 $\Omega$ 是一个区域, $f\in H(\Omega)$, 则 $f$ 把开集映成开集.

定理 设 $\Omega$ 是一个区域, $f\in H(\Omega$, $|f|$ 最大值一定在 $\Omega$ 的边界上取到, 否则 $f$ 是常数.

证明: 利用开映射定理, 即得.

单连通区域上二阶连续可微的调和函数

定理 设 $\Omega$ 是一个单连通区域, $u\in C^2(\Omega)$ 且 $\Delta u =0 $. 则存在 $\Omega$ 上的全纯函数 $f$ 使得 $u=Re(f)$. 其中 $$f(z) =\frac{1}{2 \pi i} \int_{|\xi|=R} u(\xi)\frac{\xi+z}{\xi(\xi-z)}\mathrm{d}x+ ic$$