整函数与亚纯函数

不为多项式的整函数称为超越函数

接下来都去研究亚纯函数

定义 在复平面上没有本性奇点的函数称为亚纯函数.

定理 $\infty$ 为可去奇点或极点的亚纯函数是有理函数.

不是有理函数的亚纯函数称为超越亚纯函数

定理 任意亚纯函数都可以写成两个整函数的比

证明: 设 $f$ 是一个亚纯函数, 设 $f_1$ 是一个以 $f$ 的极点为其零点的函数, 则 $ff_1$ 没有极点, 只有可去奇点. 一般情况下, 让 $f_2=ff_1$, 在可去奇点 $a$ 处 $f_2(a) = \lim\limits_{z\to a} f(z)f_1(z)$. $f_2$ 是一个整函数. 所以 $f = \frac{f_2}{f_1}$