先讨论孤立奇点是有限复数的情形. 设 $f$ 在 $a$ 的去心邻域内全纯, 则称 $a$ 为 $f$ 的一个孤立奇点. 设 $f(z)$ 在 $\tilde{D} = D(a,r)\backslash \{a\}$ 上的 Laurent 级数为 $$f(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n (z-a)^n$$ 则孤立奇点有以下三种分类
- 若 $c_{-n}$ 全为 $0$, 则该奇点称为可去奇点
- 若 $c_{-n}$ 只有有限个不为 $0$, 且下标最小的为 $-m$, 则称该奇点为 $m$ 阶极点
- 若 $c_{-n}$ 有无穷多个不为 $0$, 则称该奇点为本性奇点
下面讨论孤立奇点是无穷远点时的情形. 若 $f$ 在 $R<|z|<\infty$ 上全纯, 则称 $\infty$ 为 $f$ 的一个孤立奇点.
在无穷远处的孤立奇点有以下三种分类
- 若 $c_{n}$ 全为 $0$, 则该奇点称为可去奇点
- 若 $c_{n}$ 只有有限个不为 $0$, 且下标最大的为 $m$, 则称该奇点为 $m$ 阶极点
- 若 $c_{n}$ 有无穷多个不为 $0$, 则称该奇点为本性奇点
定理 (Picard 定理) 全纯函数在一个有限复数本性奇点的邻域内无穷次取到每个有限复数, 至多除去一个例外值.
