复数域
从近世代数观点来看复数域, 则 $$\mathbb{C}=\mathbb{C}[x]/(1+x^2)$$
但是为了简便我们就把复数域 $\mathbb{C}$ 简记为以下 $$\mathbb{C} = \{a+bi : a,b\in \mathbb{R}\}$$ 其中 $i^2 =-1$
扩充复平面
$$\hat{\mathbb{C}}= \mathbb{C}\cup \{\infty\}$$
复数的模
定义 $|z|= \sqrt{a^2+b^2}$ 称为复数 $z=a+bi$ 的模
复数的共轭
定义 $\bar{z} = a-bi$ 称为复数 $z=a+bi$ 的共轭
复数的辐角
因为知道复数平面上对应一个点, 从原点到这个复数对应点的向量的角度称为这个复数的辐角.
首先我们需要知道的是一个复数的辐角有多个, 一个复数的辐角加减 $2\pi$ 的倍数还是这个复数的辐角. 但当我取定一个恰当的范围, 例如 $[0,2\pi),[-\pi,\pi)$. 得到的辐角称为主辐角, 这个主辐角则是唯一的.
对于一些情况, 可以使用函数 $\arctan \frac{y}{x}$ 来求得主辐角, 但是该函数给出的值不一定是主辐角, 需要做些加减.
若当定理
一条简单闭曲线将复平面分成两个域, 其中一个是有界的, 称为内部, 另一个是无界的, 称为外部. 这条闭曲线是两个域的共同边界.
可微与解析(全纯)
设 $\Omega$ 是一个区域, $f$ 是其上的一个函数. $z_0 \in \Omega$, 若 $$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \ \text{存在且有限}$$ 则称 $f$ 在 $z_0$ 可微, 并将上述极限记为 $f'(z_0)$, 称为 $f$ 在 $z_0$ 的导数. 如果 $f$ 在 $z_0$ 的某个邻域上都可微, 则称 $f$ 在 $z_0$ 处解析.
这里直接抛出这个定理
定理 设 $\Omega$ 是一个区域, $f$ 在 $\Omega$ 上全纯, 则 $f$ 在 $\Omega$ 中存在任意阶导数, 且 $$ f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}} \mathrm{d}\xi $$ 其中 $\gamma$ 是关于 $z$ 环绕数为 $1$ 的零伦闭曲线.
定义 设 $\Omega$ 是一个区域, $f=u+iv$ 是 $\Omega$ 上的连续函数且 $u_x,v_x,u_y,v_y$ 存在. 则称 $$ u_x=v_y\\u_y = -v_x$$ 为 C-R 方程.
定理 (Looman-Menchaff 定理) 设 $\Omega$ 是一个区域, $f=u+iv$ 是 $\Omega$ 上的连续函数且 $u_x,v_x,u_y,v_y$ 存在. 则 $f$ 在 $\Omega$ 上全纯的充分必要条件是 $f$ 在 $\Omega$ 上满足 C-R 方程.
一个小小的推论, 设 $f=u+iv$ 是区域 $\Omega$ 上的全纯函数, 则由 $f$ 在 $\Omega$ 上有任意阶导数, 所以 $u,v$ 都有二阶连续偏导. 又有 C-R 方程, 所以有 $$\Delta u = u_{xx}+u_{yy} =0\\ \Delta v = v_{xx} + v_{yy}=0$$ 称满足 $\Delta =0$ 的函数为调和函数, 所以全纯函数的实部和虚部都是调和函数.
关于 $z$ 和 $\bar{z}$ 求导
首先我们知道 $x=(z+\bar{z})/2 , y=(z-\bar{z})/2i$, 根据复合函数的求导法则 \begin{array}{lll}\frac{\partial f}{\partial z} &= \frac{\partial x}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial y}&=\frac{1}{2} \frac{\partial f}{\partial x} -\frac{i}{2}\frac{\partial f}{y} \\ \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} &= \frac{\partial x}{\partial \bar{z}}\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial \bar{z}}\frac{\partial f}{\partial y}&=\frac{1}{2} \frac{\partial f}{\partial x} +\frac{i}{2}\frac{\partial f}{y} \end{array}
其中当 $f=u+iv$ 是区域 $\Omega$ 上的连续函数且 $u_x,v_x,u_y,v_y$ 存在时, $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}} =0$ 等价于 C-R 方程.
复积分
设 $f=u+iv$ 是区域 $\Omega$ 上的函数, $\gamma$ 是 $\Omega$ 中的一条可求长曲线, 则 $$\int_\gamma f(z)\mathrm{d}z = \int_\gamma (u+iv)(\mathrm{d}x + i \mathrm{d}y)$$
如果 $\gamma$ 不仅可求长还是一个分段可微的曲线, $z=z(t), t\in [a,b]$, 则 $$\int_\gamma f(z) \mathrm{d}z = \int_{[a,b]} f(z(t))z'(t)\mathrm{d}t$$
复形式的Green公式
定理 设 $w=w_1\mathrm{d}z + w_2 \mathrm{d} \bar{z}$ 是区域 $\Omega$ 上的一次外微分形式, 其中 $w_1,w_2$ 均为 $z,\bar{z}$ 的可微函数, $d$ 为外微分算子. 则 $$\int_{\partial \Omega} w = \int_\Omega \mathrm{d} w$$
复级数
定理 (M-判别法) 若区域 $\Omega$ 上得函数项级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty {f_n(x)}$ 满足 $|f_n(x)| \le a_n$ 且 $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ 收敛, 则函数项级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty {f_n(x)}$ 在 $\Omega$ 上一致收敛
定理 a) 若 $f_n\in C(\Omega)$ 且 $f_n\rightrightarrows f$, 则 $f\in C(\Omega)$
b) 若 $f_n\in C(\Omega)$, $\gamma$ 可求长且在 $\gamma$ 上 $f_n\rightrightarrows f$, 则 $\int_\gamma f(z) \mathrm{d}z = \lim\limits_{n\to \infty} \int_\gamma f_n(z)\mathrm{d}z$
c) 若 $f_n\in H(\Omega)$ 且 $f_n \stackrel{C}{\rightrightarrows} f $, 则 $f\in H(\Omega)$
初等函数
定义 $e^{x+iy} =\sqrt{x^2 +y^2}\left( \cos y + i \sin y\right)$
看一下三角函数的定义
$$\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \\ \sin z = \frac{e^{iz} – e^{-iz}}{2i}$$
- 指数函数变成了周期函数
- 三角函数变成了无界函数
- 对数函数变成了多值函数
- 幂函数变成了多值函数
