留数定理

下面对留数的讨论都默认该点是孤立奇点.

定义 (有界点处的留数) 若 $f$ 在 $D(a,r)\backslash \{a\},r>0$ 上全纯, $a$ 为 $f$ 的孤立奇点, $$Res(f,a) = \frac{1}{2\pi i} \int_{|z-a|=\rho} f(z) \mathrm{d}z$$ 其中 $0<\rho<r$, 称 $Res(f,a)$ 为 $f$ 在 $a$ 点的留数.

若 $f$ 在 $D(a,r)\backslash \{a\},r>0$ 上的 Laurent 级数为 $$f(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n (z-a)^n$$ 则 $Res(f,a) = c_{-1}$

定义 (无穷点处的留数) 若 $f$ 在 $R<|z|<\infty$ 内全纯, $\infty$ 是 $f$ 的孤立奇点, $$Res(f,\infty) = -\frac{1}{2\pi i} \int_{|z-a|=\rho} f(z) \mathrm{d}z$$ 其中 $R<\rho<\infty$, 称 $Res(f,\infty)$ 为 $f$ 在 $\infty$ 点的留数.

若 $f$ 在 $R<|z|<\infty$ 上的 Laurent 级数为 $$f(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n z^n$$ 则 $Res(f,\infty) = -c_{-1}$

定理 设 $z_1,…,z_n\in \mathbb{C}$ 两两不等, $f:\mathbb{C}\backslash \{z_1,…,z_n\} \to \mathbb{C}$ 全纯且 $f$ 以 $\infty$ 为孤立奇点, 则 $$\sum\limits_{k=1}^n Res(f,z_k)+Res(f,\infty)=0$$

定理 设 $\Omega$ 是 $\mathbb{C}$ 中的有界区域, $\gamma = \partial \Omega$ 可求长. $z_1,…,z_n\in \mathbb{\Omega}$ 两两不等. 设 $f$ 在 $\Omega’:=\Omega \backslash \{z_1,…,z_n\}$ 上全纯, 在 $\bar{\Omega’}$ 上连续, 则 $$\int_\gamma f(z) \mathrm{d}z = 2\pi i \sum\limits_{k=1}^n Res(f,z_k)$$

证明: 上述两个定理均使用柯西积分定理即可.