维特扩张定理

二次空间

定义 设 $f$ 是 $V$ 上对称的双线性函数, $Q(x) = f(x,x)$ 称为 $V$ 上的二次型, 则 $(V,Q)$ 称为二次空间

对称双线性函数和二次型一一对应, 相互确定

还有一个二次空间什么时候是退化或者非退化?在这里解答

定义 若 $Q$ 在 $V$ 的一组基下对应的对称的度量矩阵可逆, 则称 $(V,Q)$ 非退化. 否则称为退化.

定理 以下两个条件是等价的

  1. $(V,Q)$ 非退化
  2. $rad(U)=rad(U^\perp)=U\cap U^\perp = 0$

如果二次空间 $U$ 退化, 则一定可以找到非零向量 $\alpha \in rad(U)$

命题 设 $\phi:(V,Q) \to (V’,Q’)$ 是等距映射, 如果 $(V,Q)$ 非退化, 则 $\phi$ 是单射.

若 $\phi$ 不是单射, 则存在非零向量 $\alpha$ 使得 $\phi(\alpha) =0$. 由于 $\phi$ 是等距映射, 所以 $f(\alpha,\beta) = f'(\phi(\alpha),\beta) = f'(0,\beta) = 0$. 则与 $(V,Q)$ 非退化矛盾.

终于来到重头戏维特扩张定理

维特扩张定理

定理 设 $(V,Q)$ 和 $(V’,Q’)$ 是两个等距同构的非退化二次空间. 设 $U$ 是 $V$ 的子空间, 则任意等距映射 $\sigma: U \to V’$ 可以扩充成等距同构 $\tau:V\to V’$

不妨设 $(V,Q)=(V’,Q’)$. 下面分成两种情况来讨论 $U$

如果 $U$ 是退化的, 显然我们可以找到非零向量 $\alpha$, 使得 $\alpha \in rad(U)$. $U = L(\alpha) + W$. 因为 $W$ 是 $U$ 的真子空间, $W^\perp \supset U$ (因为 $W^\perp$ 的维数比 $U^\perp$ 的维数大).

取向量 $\gamma\in W^\perp, \gamma \not\in U^\perp$. 下面说明 $f(\alpha,\gamma) \neq 0$. 假设 $f(\alpha,\gamma) =0$, 则 $\gamma$ 与 $\alpha$ 正交. 所以 $\gamma \in W^\perp \cap L(\alpha)^\perp=(W+L(\alpha))^\perp = U^\perp$, 矛盾.

不妨设 $f(\alpha,\gamma) = 1$, 由于 $U$ 中向量都与 $\alpha$ 正交, 所以 $\gamma \not\in U$. 设 $\beta = \gamma – \frac{f(\gamma,\gamma)}{2}\alpha \in W^\perp$ (因为 $\gamma\in W^\perp$, $\alpha \in W^\perp$ ). 容易验证 $f(\alpha ,\beta) =1 , f(\beta,\beta) =0$. 所以 $\beta$ 是迷向的且 $\beta\not\in U$.

类似的, 可以找到 $\gamma_1 \in \sigma(W)^\perp$ 使得 $f(\sigma(\alpha), \beta_1) = 1$. 设 $\beta_1 = \gamma_1 – \frac{f(\gamma_1,\gamma_1)}{2}$, 则 $f(\sigma(\alpha),\beta_1) = 1, f(\beta_1,\beta_1) = 0$. 所以 $\beta_1$ 是迷向向量, $\beta_1 \not\in \sigma(U)$

定义 $\tilde{\sigma}: U \oplus L(\beta) \to V$ 使得 $\tilde{\sigma}(\alpha_1 + c\beta) = \sigma(\alpha_1) + c \beta_1$. 易于验证 $\tilde{\sigma}$ 将 $\sigma$ 扩充到了高一维的空间中.

下面再设 $U$ 是非退化的, 对 $U$ 的维数进行归纳.

设 $dim(U) = 1$, 则 $U$ 由非迷向向量张成. 设 $\beta = \sigma(\alpha)$, 则 $f(\alpha,\alpha) = f(\beta,\beta)$. 若 $f(\alpha+\beta,\alpha+ \beta) = f(\alpha-\beta,\alpha -\beta)=0$, 则 $f(\alpha,\beta)=f(\alpha,\alpha) = f(\beta,\beta) =0$. 矛盾. 所以 $f(\alpha+\beta,\alpha+\beta)$ 和 $f(\alpha – \beta,\alpha – \beta)$ 中有一个不等于 $0$. 不妨设 $f(\alpha + \epsilon\beta,\alpha + \epsilon\beta) \neq 0$. 令 $\gamma = \alpha + \epsilon \beta$, 则 $V = L(\gamma)^\perp \oplus L(\gamma)$. 定义 $\tau: V \to V$ 使得 $\tau(w_1+w_2) = w_1 -w_2$, 其中 $w_1\in L(\gamma)^\perp, w_2 \in L(\gamma)$. 那么 $-\epsilon \tau$ 是 $\sigma$ 的扩充.

设 $U = U_1 \oplus U_2$, $\sigma: U \to V$, 可以将 $\sigma|_{U_1}$ 看作 $U_1$ 上的恒等映射. $\sigma|_{U_2}$ 可以扩充为 $U_1^\perp$ 上的映射 $\phi$. 那么定义 $\tau(\alpha + \beta) = \phi(\alpha) +\beta$, 其中 $\alpha \in U_1^\perp, \beta \in U_1$. 则 $\tau$ 为 $\sigma$ 的扩充.

定理 维特消去定理 设 $(V,Q)$ 和 $(V’,Q’)$ 是两个等距同构的非退化二次空间. $U$ 是 $V$ 的子空间, $U’$ 是 $V’$ 的子空间. 若存在 $U$ 和 $U’$ 的等距同构, 则存在 $U^\perp$ 和 $U’^\perp$ 的等距同构

证明 利用维特扩充定理即得.

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