主要是通过 $\lambda$-矩阵的 Smith 标准形来得到数字矩阵的有理标准形和复方阵的若尔当标准形. 其中复方阵的若尔当标准形最为重要.
$\lambda$-矩阵的相抵不变量
不变因子
定义 $A(\lambda)\in M_{m\times n}(\lambda)$, $\text{rank}(A(\lambda)) =r\ge 1$. $A(\lambda)$ 的 Smith 标准形中的 $r$ 个首一的多项式 $d_1(\lambda),d_2(\lambda),…,d_r(\lambda)$ 称为 $A(\lambda)$ 的不变因子.
初等因子
定义 $A(\lambda)$ 不为 $1$ 的不变因子分解为互不相同的首一不可约因式方幂的乘积. 所有的这些首一的不可约因式的方幂称为 $A(\lambda)$ 的初等因子
行列式因子
定义 $A(\lambda)\in M_{m\times n}(\lambda)$, $\text{rank}(A(\lambda)) =r\ge 1$. $1\le k\le r$, $A(\lambda)$ 的所有 $k$ 级子式的首一的最大公因式称为 $A(\lambda)$ 的 $k$ 级行列式因子.
行列式因子可由不变因子表示 $$D_k(\lambda) = d_1(\lambda)d_2(\lambda) … d_k(\lambda)$$
$\lambda$-矩阵相抵的充分必要条件
定理 $A(\lambda),B(\lambda) \in M_{m\times n}(\lambda)$ 且 $A(\lambda),B(\lambda \neq 0)$, 则 $A(\lambda)$ 与 $B(\lambda)$ 相抵的有以下三个充分必要条件
- $A(\lambda)$ 与 $B(\lambda)$ 有相同的不变因子
- $A(\lambda)$ 与 $B(\lambda)$ 有相同的行列式因子
- $A(\lambda)$ 与 $B(\lambda)$ 有相同的秩和相同的初等因子
定理 两个数字矩阵 $A,B \in M_n(F)$, $A$ 与 $B$ 相似的充分必要条件是 $\lambda I -A$ 与 $\lambda I -B$ 相抵.
定理 $A,B\in M_n(F)$, $A$ 与 $B$ 相似的有以下三个充分必要条件
- $A$ 与 $B$ 有相同的不变因子
- $A$ 与 $B$ 有相同的行列式因子
- $A$ 与 $B$ 有相同的初等因子
$\lambda$-矩阵在相抵下的 Smith 标准形
定理 设 $A(\lambda)\in M_{m\times n}(F[\lambda]),r = \text{rank}A(\lambda)$. 若 $r\ge 1$, 则 $A(\lambda)$ 相抵于矩阵 $$\Lambda(\lambda)=\begin{pmatrix}d_1(\lambda) &&&&&\\ &d_2(\lambda)&&&&\\ && \ddots &&\\ &&&d_r(\lambda)&\\ &&&& 0_{(m-r)\times (n-r)} \end{pmatrix}$$ 其中 $d_1(\lambda),d_2(\lambda),…, d_r(\lambda)$ 都是 $F$ 上的首一多项式, 并且 $d_i(\lambda) | d_{i+1}(\lambda),i=1,2,…,r-1$. 称 $\Lambda(\lambda)$ 为 $A(\lambda)$ 的 Smith 标准形. 若 $r=0$, $A(\lambda)$ 的 Smith 标准形为 $0$.
数字矩阵在相似下的 Frobenius 标准形
定义 友矩阵 设 $f(\lambda)= \lambda^n + a_1 \lambda^{n-1} + … +a_{n-1}\lambda + a_n$ 的友矩阵为 $$C = \begin{pmatrix}0&&&&-a_n\\1&0&&&-a_{n-1}\\ &\ddots &\ddots &&\vdots \\ &&\ddots &0 &-a_2\\ &&& 1 & -a_1\end{pmatrix}$$
定理 $A\in M_n(F)$ 相似于唯一的 Frobenius 标准形, 即 $A$ 的非 $1$ 的不变因子的友矩阵构成的准对角矩阵.
复矩阵在相似下的若尔当标准形
定义 不可约多项式方幂 $(x-a)^m$ 对应的若尔当块为 $$J = \begin{pmatrix}a&1&&&\\&a&1&&\\ &&\ddots& \ddots&\\&&&\ddots&1\\&&&&a \end{pmatrix}$$
定义 $A\in M_n(C)$ 相似于唯一的若尔当标准形, 即 $A$ 的初等因子的若尔当块构成的准对角矩阵.
