欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$
$\mathbb{R}^n$ 是所有 $n$ 维实向量构成的集合, 设 $x=(x_1,…,x_n),y=(y_1,…,y_n)$
- 距离函数 $$\rho(x,y)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}$$
- 范数 $$\|x\| =\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2} $$
- 内积 $$(x,y)=\sum\limits_{i=1}^n x_i y_i$$
$l^p$ 空间
$l^p$ 是由满足下列不等式的实数列 $x=\{x_1,x_2,…\}$ 构成的集合 $$\sum\limits_{i=1}^\infty |x_i|^p <\infty$$
- 距离函数 $$\rho(x,y) = \left(\sum\limits_{i=1}^\infty |x_i-y_i|^p\right)^{1/p}$$
- 范数 $$\|x\| = \left(\sum\limits_{n=1}^\infty|x_n|^p\right)^{1/p}$$
- 内积 当 $p=2$ 时, $$(x,y) = \sum\limits_{n=1}^\infty$ x_n \bar{y_n}$
$l^\infty$ 空间
$l^\infty$ 是一切有界的实数列构成的集合.
- 距离函数 $$\rho(x,y)=\sup\limits_{1\le n <\infty}|x_n – y_n|$$
- 范数 $$\|x\| = \sup\limits_{n}|x_n|$$
$C[a,b]$ 空间
$[a,b]$ 上所有实连续函数构成的集合
- 距离函数 $$\rho(f,g)=\max\limits_{x\in[a,b]}|f(x)-g(x)|$$
- 范数 $$\|f\| = \max\limits_{x\in [a,b]}|f(x)|$$
$L^p$ 空间
$f(x)$ 是可测集 $E$ 上的可测函数. 设 $p\ge 1$, 若 $|f(x)|^p$ 可积, 则称 $f$ 是 $p$ 幂可积的. $L^p$ 是可测集 $E$ 上所有 $p$ 幂可积的函数构成的集合.
- 距离函数 $$\rho(f,g) = \left(\int_E |f(x)-g(x)|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p}$$
- 范数 $$\|f\|_p = \int_E |f(x)|^p \mathrm{d} m$$
- 内积 当 $p=2$ 时, $$(f,g)=\int_Ef(x) \bar{g}(x) \mathrm{d} m$$
对这五大空间做以下的总结, $\mathbb{R}^n,L^2,l^2$ 是希尔伯特空间, $C[a,b],l^\infty, l^p, L^p$ 是巴纳赫空间.
